Problema 216 (“Problemas y experimentos recreativos” - Yákov I. Perelmán)

Dividir una fruita en moltes parts iguals és més un problema pràctic que teòric.

Com podem repartir 5 pomes iguals entre 6 nins de forma que cada nin en rebi exactament la mateixa quantitat, i cap poma s’hagi hagut de dividir en més de 3 trossos? 

(Un cop resolt, pots provar aquest altre: repartir-ne 7 entre 12 de manera que cap poma s’hagi de dividir en més de 4 parts)

ENGINY 1 

ajuda i solució

 

Problema 215 (LII Olimpíada Matemàtica Espanyola)

Hem començat l’Olimpíada Matemàtica puntualment a les 9:00, com he comprovat en el meu rellotge ,que llavors funcionava correctament. Quan ha acabat la prova , a les 13:00, he tornat a mirar el rellotge i he vist que s’havia aturat feia temps; curiosament la maneta de les hores i la dels minuts estaven superposades, i la recta comuna formava un angle (no nul) menor que 120^o amb la maneta dels segons. A quina hora es va aturar el rellotge? (cal donar la resposta en hores, minuts i segons; suposam que el moviment de les agulles en un rellotge analògic és continu) 

ÀLGEBRA 3

ajuda i solució

 

Problema 214 (Olimpíada Matemàtica Espanyola.- Fase local Illes Balears)

En una reunió hi assisteixen al·lotes i al·lots, que són 20 en total. Se sap que n'Agnès ha ballat amb 7 al·lots, na Neus ha ballat amb 8 al·lots, na Maria ha ballat amb 9 al·lots i així successivament, fins arribar a na Sara, que va ballar amb tots els al·lots.

Quants al·lots hi ha en total?

ENGINY 2  

La intuïció ens diu que no sembla gaire complicat i d’altra banda fa la impressió de no reunir totes les dades necessàries.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 213 (ampliació problema 150)

Una farmàcia va rebre una partida de cinc flascons de certa medecina. Cada un contenia un miler de pastilles.

Encara no havien acabat de col·locar-los a la prestatgeria quan reberen un missatge on se’ls advertia que s’havia comès un error: alguns flascons ,no deien quants ni quins, estaven dosificats en excés. 

Totes les pastilles d’aquests flascons pesaven 10 mil·ligrams més que les pastilles normals, el pes de les quals figurava a l’etiqueta. Calia identificar-los.

El senyor apotecari ,afeccionat als reptes matemàtics, va pensar que potser amb una sola pesada (de bàscula d’un sol plat i graduada en mil·ligrams) podia identificar quins flascons havia de retornar al laboratori. I ho va aconseguir. Com?

ENGINY 4  

El problema 150 és equivalent a la versió més senzilla d’aquest, i correspon al cas en què tan sols un dels flascons està sobredosificat .

Llavors es prenia 1 pastilla d’un flascó (diguem-li f1), 2 d’un altre (f2), 3 del f3 ...

Com es passa al cas més general?

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 212 (“Concursos de Matemáticas.Geometría” -La Tortuga de Aquiles)

ABCD és un quadrat d’àrea 1m² . MND és un triangle equilàter. Quina àrea té?

GEOMETRIA 3 

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 211 (Lliga Matemàtica Interestatal USA 1985)

Quan calculam 30! obtenim un nombre acabat en set zeros. Quin és el dígit que precedeix aquests set zeros?.

NOMBRES 3

30!=1·2·3·4·5.....·28·29·30

Cada zero resulta d’un producte 2·5

ajuda i solució

Problema 210 ("Investigación y Ciencia"-abril 1990 - Ian Stewart)

Una tauleta de xocolata pot servir per a un joc entre dues persones.

Una de les porcions està marcada (la inferior dreta)

1.Els jugadors agafen la tauleta alternativament i en separen una part, tallant-la tot al llarg d’una de les línies horitzontals o verticals que separen les pastilles (tota la línia). Cada jugador pot menjar-se la part que ha separat.

2.Qui agafa la darrera porció ,la marcada, perd.

Analitza el joc. Tracta de trobar una estratègia guanyadora.

JOCS 2

Els jocs es comencen sempre jugant.

Si es tracta d’un joc senzill com aquest, potser convé analitzar-lo començant pel final...

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 209 (“The dell book of logic problems 2”-Rosalind Moore)

Will i cinc companys ciclistes berenen diàriament en el petit hostal on s’allotgen. Cada un dels joves menja igual tots els dies: ous estrellats o pa amb oli, acompanyats de bacó, o pernil o botifarra. També beu o cafè o te o llet. Cap d’ells menja exactament el mateix que un altre. També hi ha una regla no escrita de l’hostal que es compleix estrictament: tots els plats o begudes són servits a més d’una persona. Basant-se en les pistes següents, podeu determinar què menja cada un?

1.      Albert, a qui no agrada la botifarra ,s’asseu al costat de l’hoste que berena pa amb oli amb bacó

2.      Blai i Carles mengen pernil

3.      A Pere no li agrada gens el bacó

4.      Nico mai no ha volgut pa amb oli

5.      Blai pren cafè

6.      Els que mengen botifarra  beuen te; dos dels que trien pa amb oli prenen cafè; els altres dos joves beuen llet

7.      Més de dos dels joves mengen ous

LÒGICA 2

AJUDA I SOLUCIÓ