Problema 179 (XLIII Olimpíada Matemàtica-Fase Catalunya)

Una botiga que està oberta els set dies de la setmana ha venut,durant l’any 2005, un total de 629 bicicletes. Sabent que ,com a mínim, ha venut una bicicleta cada dia, demostrau que hi ha un període de dies consecutius durant el qual s’han venut  exactament 100 bicicletes.

ENGINY 4

ajuda i solució

Problema 178 (“Mathematical Circus” – Martin Gardner)

Tenim sis peses: dues vermelles, dues blanques i dues grogues. A cada parell n’hi ha una que pesa una mica més que l’altra, essent ,en els altres aspectes, indistingible de la seva bessona. Les tres més pesades tenen idèntic pes , i el mateix passa amb les tres més lleugeres.

Fent únicament dues pesades amb una balança clàssica de dos platets, com podem identificar dins cada parella la més pesada i la més lleugera? 

ENGINY 3

ajuda i solució

Problema 177 (Matriu de dominós de Lech Pijatowski)

2	3	3	1	6	6	0	4
5	2	3	0	4	6	1	1
1	4	6	1	3	3	0	1
1	0	2	5	6	6	3	2
5	5	2	0	5	4	4	5
5	5	1	3	2	0	0	3
4	4	4	0	2	2	6	6

ENGINY 2

Es convenient anar tatxant les fitxes del joc així com les vas localitzant dins la matriu proposta

SOLUCIÓ

Problema 176 (“Mathematical Circus” – Martin Gardner)

Un criptaritme antic i original

Com sempre, lletres iguals representen xifres iguals (pot haver-hi el zero) i lletres diferents ,xifres diferents. La fracció EVE/DID ja ha estat simplificada al màxim,és irreductible i ,com es veu a la imatge és menor que 1 i el seu període decimal té quatre xifres.

ENGINY 2

Per obtenir la fracció generatriu d’un decimal periòdic pur menor que 1, has de recordar que dividim el bloc periòdic pel nombre format per tants 9 com xifres té aquest bloc...

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 175 (Revista “nou biaix” – juny 2015)

El centre ha organitzat un torneig d’escacs amb un bon èxit de convocatòria i en Lluís s’hi ha apuntat. Cada jugador disputarà una partida contra cadascun dels inscrits,excepte, òbviament, contra ell mateix. El guanyador de la partida s’anota un punt i el perdedor cap. Si en una partida es fan taules,cada jugador s’anota mig punt. Al final del torneig resulta que ,sense comptar en Lluís,la resta de jugadors s’han anotat un total de 99 punts. Quants jugadors s’havien inscrit al torneig? Quants punts ha aconseguit en Lluís?

ENGINY 3

De vegades sembla que l’enunciat no aporta informació suficient per poder respondre les preguntes plantejades. Aquest n’és un exemple; però puc assegurar-vos que podeu contestar les dues qüestions sense més dades ni aclariments.

ajuda i solució

Problema 174 (“Mathematical Circus”- Martin Gardner)

Tres quadrats

Fent servir tan sols Geometria elemental (no és permesa la Trigonometria) cal demostrar que l’angle C és la suma dels angles A i B.

GEOMETRIA 2

Martin Gardner dóna les gràcies a Lyber Katz per haver-li fet arribar aquest problema. El tal Katz li va explicar que de nin havia anat a escola a Moscou , i que li proposaren aquest exercici a 5è de bàsica “per apujar nota”; també explicava que el nombre d’atzucacs on pots trobar-te quan intentes resoldre’l és molt gran.

ajuda i solució

Problema 173 (Revista “nou biaix” abril 2013)

Un grup de 30 presoners han de passar una prova: endevinar el color del barret (blanc o negre) que porten posat i que no poden veure. Si l’endevinen seran alliberats; si no, seran executats. Abans de dir el color del barret es posaran tots en fila i cadascú veurà els barrets de tots els que té al davant de la fila,però no el seu ni els de darrere. Començarà a dir el nom del color del seu barret el que ocupa el darrer lloc a la fila,després el 29è i així successivament fins al primer. Els barrets ,blancs o negres,es posaran a l’atzar i durant la prova cada presoner no podrà dir res més que el nom del color del barret (nom que podran sentir tots els altres), quan sigui el seu torn.

La nit abans de la prova, quan tots els presoners en coneixen les condicions,es reuneix tot el grup per intentar cercar una estratègia que els permeti minimitzar el nombre d’execucions; després de pensar-hi una estona, en troben una que els permetrà salvar-se tots menys un, que tendrà una probabilitat del 50% de salvar-se.

Sabríeu trobar aquesta estratègia?

Si varia el nombre de presoners es pot aplicar igualment, o cal fer alguna modificació?

ENGINY 3

Primer de tot, com passa sempre ,hem de llegir atentament l’enunciat. Això, si no volem arriscar-nos a presenciar execucions massives.

Després cal considerar-ne la lectura més restrictiva; posem que, en lloc de dir el color del barret ,cadascú elegeix la tecla “blanc” o la tecla “negre” i una màquina posa la veu per dir el color de forma que tots l’escoltin. En cas contrari seria massa fàcil trobar una estratègia correcta basada en l’entonació de la veu , o la modulació de les paraules.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 172 (Revista “nou biaix” abril 2013)

Considerem un quadrant de circumferència , o si ho preferiu, un sector circular d’amplitud 90^o,format per dos radis i l’arc de circumferència corresponent. Prenem un punt P sobre l’arc de circumferència i traçam els dos segments que uneixen P amb els punts on els dos radis intersequen la circumferència. Si la mesura d’aquests dos segments és 2 i 3 cm respectivament, quina és l’àrea del quadrilàter format pels dos radis i aquests dos segments?.

TRIGONOMETRIA 2

Fem un gràfic senzill . Comencem per aquí.

ajuda i solució