Problema 151 (Cangur 2015 - Nivell 3)

Marquem uns quants punts en una línia recta.Considerem tots els segments determinats per dos d’aquests punts.Un d’aquests punts  és interior a 80 d’aquests segments, un altre  és interior a 90.

Quants punts hem marcat?

ENGINY 3

Si comences amb un cas senzill, potser descobreixis ben aviat la clau de la situació.

Confia

ajuda i solució

Problema 150 (Un clàssic de les pesades)

Tenim nou bosses plenes de monedes. Totes les monedes de totes les bosses són iguals i pesen exactament 10 grams, excepte en una: aquesta única bossa diferent conté monedes falses, que són indistingibles de les vertaderes excepte en el pes; les falses pesen 11 grams. Per identificar les monedes falses, disposam d’una bàscula capaç de marcar el pes amb exactitud de grams. No obstant això, només disposam d’una pesada per identificar la bossa amb les monedes falses.Com ho faries?

ENGINY 3 

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 149 (XV edició concursos Puig Adam)

Tenim un rectangle de costats 8cm i 9cm. Dibuixam dues circumferències d’igual radi tangents entre sí, de forma que una és tangent a dos costats adjacents del rectangle i l’altra és tangent als altres dos. Quin ha de ser el radi?

GEOMETRIA 2  

Un esquema gràfic ajudarà:

ajuda i solució

Problema 148 ("The Dell Book of Logic Problems" - Rosalind Moore)

Cinc companys de classe, Cortès, Llull, Martí, Nadal i Valls encarregaren pizzes per a després del cine. Cada un la va demanar d’una classe diferent: anxoves, formatge, xampinyons, pebres i salami , i totes de mida diferent: 50, 45, 40, 35 i 30 cm de diàmetre. Varen pagar preus distints, no relacionats amb els respectius diàmetres, que foren de 3’50 € , 3’00 € , 2’75 € , 2’25 € i 2’00€ . Pots deduir, partint de les pistes que s’enumeren a continuació, la classe ,diàmetre i preu ,de la pizza que va elegir cadascun d’ells?

1. La pizza de Martí li costà més de 2’00 euros
2. la pizza de 40cm va costar 50 cèntims menys que la pizza de xampinyons, i la de xampinyons costà menys que la de salami
3. La pizza de Cortès era més cara que la de 45cm
4. La pizza d’en Llull valia 75 cèntims més que la de 35cm
5. La pizza d’anxoves costava 75 cèntims més que la de 30cm
6. La pizza d’en Valls valia 75 cèntims més que la de pebres, que no era la més barata.

 LÒGICA 3

 Una graella que et pot servir d’ajuda  AQUÍ

 i la solució final

Solució completa

Problema 147 (XXXVI Olimpíada Matemàtica - Fase Catalunya)

Un professor de matemàtiques va escriure a la pissarra el polinomi quadràtic  x²+10x+20.  Llavors cada alumne havia d’augmentar ,o disminuir en 1, el terme constant o bé el terme lineal. Finalment va quedar escrit a la pissarra el polinomi x²+20x+10. Demostra que en algun moment va haver-hi escrit a la pissarra un polinomi quadràtic amb zeros enters.
ÀLGEBRA 4  

ajuda i solució

Problema 146 (“The amazing mathematical amusement arcade” - Brian Bolt)

Un jugador professional ha aconseguit tres daus cúbics ben equilibrats de diferents colors. El vermell té dos dosos ,dos quatres i dos nous. El blau té dos tresos,dos cincs i dos sets, i el groc dos uns ,dos sisos i dos vuits.

La suma total és la mateixa en els tres daus; Així i tot està convençut que pot deixar triar dau al seu contrincant, que ell serà capaç de trobar-ne un altre amb més probabilitats de guanyar en puntuació. És possible això? Té raons sòlides per afirmar-ho?

PROBABILITAT 2

Pot passar en molts esports: un jugador A sol vèncer a B, aquest guanya fàcilment a C, i  C guanya sovint al primer jugador, A.

És un exemple d’incompliment de la propietat transitiva d’una relació. No és un cas únic.

Què passa amb aquests tres daus?

ajuda i solució

Problema 145 (XL Olimpíada Matemàtica -Fase Catalunya)

Amb dos colors, blau i groc, s’han de pintar els pisos d’un gratacel, cada pis d’un color. L’única limitació́ és que dos pisos consecutius no poden pintar-se de groc. De quantes maneres es pot aconseguir això si el gratacel té 15 pisos? I si en t́é 2003? (Trobeu una expressió que ens permeti calcular-les d’alguna manera).

COMBINATÒRIA 4  

ajuda i solució

Problema 144 (“Nuevos divertimientos matemáticos”-Mariano Mataix)

Antoni,Francesc i Miquel ,cada un per motius diferents,sopen freqüentment fora de casa

1. Tan sols un dia de la setmana coincideixen en sopar fora de casa tots tres
2. Mai cap d’ells sopa fora tres dies seguits
3. Dos qualssevol d’ells coincideixen en quedar-se a casa un dia a la setmana
   com a màxim
4. Antoni segur que sopa a casa els dilluns, dimecres i divendres
5. Francesc sopa a casa al menys els divendres i diumenges
6. És totalment segur que Miquel sopa a ca-seva els dilluns.

Quin dia dela setmana surten tots tres a sopar fora?

LÒGICA 2

Una graella pot servir-te per ordenar la informació

AJUDA I SOLUCIÓ