PROBLEMA 300 + 28

LIV OME

Sigui n un nombre natural. Provar que si l’última xifra de 7ⁿ és 3, la penúltima és 4.

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 27

Proves Cangur 1999

Una illa és habitada per persones honrades,que sempre diuen la veritat, i per mentiders,que sempre menteixen. Hi ha 1999 persones a l’illa. A cada una d’elles li agrada o bé cantar, o bé jugar a futbol, o bé pescar, però només una d’aquestes activitats. Un dia es va fer una enquesta a cada habitant de l’illa que consistia en tres preguntes:

1. T’agrada cantar?
2. T’agrada jugar a fútbol?
3. T’agrada pescar?

1000 persones van contestar afirmativament la primera pregunta , 700 persones la segona ,i 500 la tercera. Quants mentiders hi ha a l’illa?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 26

XLVI Olimpíada Matemàtica Espanyola fase local 

Un jardiner ha de plantar en una fila al mig d’un camí tres roures ,quatre alzines i cinc píns.  Planta els arbres a l’atzar ,essent la probabilitat de plantar un arbre o un altre la mateixa.

Calcula la probabilitat del fet que, un cop plantats tots els arbres, no hi hagi dos píns consecutius.

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 25

XLVIII OLIMPÍADA MATEMÀTICA ESPANYOLA

Bet surt d’excursió quan les manetes del seu rellotge estan juntes entre les 8 y les 9 i arriba  a la seva destinació entre les 2 i les 3, quan les manetes formen un angle de 180 graus . Quant va durar aquesta excursió?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 24

LII Olimpiada Matemàtica Espanyola . Fase local

Per ingressar en un club cada soci nou , com a quota d’inscripció,ha de pagar a cada membre del club un euro més la quantitat total que aquest va haver de pagar per al seu ingrés. Si el primer soci va pagar un euro, quina quantitat haurà de pagar per ingressar el soci que fa vint? . I  l’n-èsim soci?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 23

Fase local Olimpíada Matemàtica Espanyola  2014-2015

Un campionat de bàsquet s’ha jugat pel sistema de lliga a dues voltes (cada parell d’equips s’enfronten dues vegades) i sense empat (si el partit acaba empatat hi ha pròrrogues fins que un guanya). El guanyador del partit se’n duu 2 punts i el perdedor 1 punt. Al final del campionat, la suma dels punts obtinguts per tots els equips tret del campió és de 2015 punts. Quants partits ha guanyat el campió?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 22

LI Olimpíada Matemàtica Espanyola  Fase local 

Entorn d’una taula circular estan assegudes sis persones . Cada una porta un barret. Entre cada dues personas hi ha una mampara de forma  que cada persona pot veure els barrets de les tres persones que té enfront, però no pot veure el de la persona de la seva esquerra ni el seu ni el de la persona de la seva dreta.Tots saben que tres dels barrets són blancs i els altres tres negres. També saben que cada un d’ells és capaç de produir qualsevol deducció lògida factible. Començam per una de les sis persones i li demanam ”pots deduir el color d’algun capell dels que no veus?”. Un cop ha respost (tots han sentit la resposta), passam a la persona de la seva esquerra i li fem la mateixa  pregunta, i així successivament. Demostra que una de les tres primeres respondrà ”Sí”.

ajuda i solució

PROBLEMA 300+21

Olimpíada Matemàtica Espanyola fase local 2011 

Saber quina és la darrera xifra de 2009 ²⁰¹¹ és molt fàcil, però ,quants zeros precedeixen aquesta darrera xifra?

(hem d’entendre quants zeros hi ha entre aquesta darrera xifra i l’anterior no nul·la)

ajuda i solució