PROBLEMA 300 + 18

LI Olimpíada Matemàtica Espanyola

En una reunió hi ha diferents persones. S’hi afegeix Alícia i la mitjana d’edat augmenta en 4 anys. Posteriorment s’incorpora Beatriu, germana bessona d’Alícia, i la mitjana d’edat torna augmentar, però en aquest cas tan sols en 3 anys. Quantes persones hi havia a la reunió abans d’entrar Alícia?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 17

Olimpíada Matemàtica Espanyola  fase local 2003

Per torn, en ordre alfabètic, tres amics llancen un dau. Qui tregui  primer un 6 guanya la quantitat apostada. 

Per cada euro que jugui Carles, quines quantitats han d’apostar  Aina y Blai per equilibrar el joc i fer-lo  equitatiu ( de manera que les expectatives de guany siguin les mateixes per a tots tres i no es vegin afectades per l’ordre d’actuació quan llancen el dau? )

ajuda i solució

PROBLEMA 300 + 16

Elegim aleatòriament dos nombres reals entre 0 i 1. Calcula la probabilitat del fet “un qualsevol d’ells és major que el quadrat de l’altre”

ajuda i solució

PROBLEMA 300 + 15

XXIX Olimpíada Matemàtica Espanyola (1992-1993)

En una reunió hi ha 201 persones de 5 nacionalitats diferents. Sabem que, en cada grup de 6, al menys 2 tenen la mateixa edat. Demostra que hi ha al menys 5 persones del mateix  país, de la mateixa edat y del mateix sexe.

ajuda i solució

PROBLEMA 300 +14

XXXVI Olimpíada Matemàtica Espanyola (1999-2000)

Demostra que no existeix cap funció  f : N → N 
complint  f(f(n)) = n+1

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300+13

III Olimpíada Matemàtica Espanyola (1965-66)

A un fabricant de tres productes els preus dels quals són 50, 70 i 65 € la unitat , el venedor detallista li’n demana un total de 100 unitats, pagant per elles 6850€ , amb la condició que enviï el major nombre possible d’unitats del producte més car i la resta dels altres dos. Quantes unitats de cada producte haurà d’enviar per servir la comanda així com ha estat feta?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300+12

Els nombres enters de l’1 fins al 9 són distribuïts a les caselles d’una taula 3 × 3 . Després sumam sis números de tres xifres: els tres llegits  en files d’esquerra a dreta i els tres que es llegeixen en columnes de dalt a baix.

Existeix  alguna disposició que doni 2018 com a resultat d’aquesta suma?

Segurament convendrà provar amb un parell d'exemples...

ajuda i solució

PROBLEMA 300+11

Un joc que voldríem tan sols pertanyent al món de la ficció és el de la ruleta russa. Entrem-hi com a personatges de novel·la.

Tenim un revòlver amb un tambor per a sis bales.

1) Aleatòriament carregam el tambor amb una sola bala. Apuntam a la templa, disparam i seguim vius. Volem continuar. Quina estratègia és millor: Fer rodar el tambor abans de fer el segon dispar, o deixar el tambor com estava i disparar. (S'entén que el resultat desitjat és salvar la vida)

2) Aleatòriament carregam el tambor amb dues bales que col.locam en recambres consecutives. Apuntam a la templa, disparam i seguim vius. Volem continuar. Quina estratègia és millor: Fer rodar el tambor abans de fer el segon dispar, o deixar el tambor com estava i disparar. (S'entén que el resultat desitjat és salvar la vida)

ajuda i solució