Problema 220 (“Investigación y Ciencia”-abril 1990 – Ian Stewart)

Al començament disposam de dues caixes contenint un nombre no nul de bolletes cadascuna.

Cada jugador, alternativament, elimina el contingut d’una de les caixes i reparteix altre cop les bolles que havien quedat dins l’altra entre les dues caixes, de forma que cada una en rebi al menys una. 

El joc acaba quan un dels jugadors no pot actuar d’acord amb les regles, i perd.

Tracta d’analitzar el joc i trobar una estratègia guanyadora,si existeix

 JOCS 3     

Sempre que es tracta d’un joc convé començar jugant.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 219 (Concursos de Matemàtiques- “La Tortuga de Aquiles”)

Un adolescent va escriure la seva edat darrera la del seu pare. A aquest nou nombre de quatre dígits li va restar el valor absolut de la diferència de les dues edats i el resultat va ser 4289. Quines eren les dues edats?

NOMBRES 2 

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 218 (Cangur 2016 - Nivell 4)

Un quadrilàter conté un cercle inscrit (és a dir, que és tangent als quatre costats). El quocient entre el perímetre del quadrilàter i el de la circumferència és 4/3. Llavors, la proporció entre l’àrea del quadrilàter i la del cercle és...

GEOMETRIA 3  

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 217 (52a Olimpíada Matemàtica Espanyola – fase local Illes Balears)

Es demana que reconstruïu la divisió entera i exacta següent:

 ENGINY 2 

Sembla un problema difícil, però l’anàlisi dels espais buits i la seva relació amb la xifra 8 ,l’única coneguda, us conduirà a la solució ben aviat.

AJUDA I SOLUCIÓ

 

Problema 216 (“Problemas y experimentos recreativos” - Yákov I. Perelmán)

Dividir una fruita en moltes parts iguals és més un problema pràctic que teòric.

Com podem repartir 5 pomes iguals entre 6 nins de forma que cada nin en rebi exactament la mateixa quantitat, i cap poma s’hagi hagut de dividir en més de 3 trossos? 

(Un cop resolt, pots provar aquest altre: repartir-ne 7 entre 12 de manera que cap poma s’hagi de dividir en més de 4 parts)

ENGINY 1 

ajuda i solució

 

Problema 215 (LII Olimpíada Matemàtica Espanyola)

Hem començat l’Olimpíada Matemàtica puntualment a les 9:00, com he comprovat en el meu rellotge ,que llavors funcionava correctament. Quan ha acabat la prova , a les 13:00, he tornat a mirar el rellotge i he vist que s’havia aturat feia temps; curiosament la maneta de les hores i la dels minuts estaven superposades, i la recta comuna formava un angle (no nul) menor que 120^o amb la maneta dels segons. A quina hora es va aturar el rellotge? (cal donar la resposta en hores, minuts i segons; suposam que el moviment de les agulles en un rellotge analògic és continu) 

ÀLGEBRA 3

ajuda i solució

 

Problema 214 (Olimpíada Matemàtica Espanyola.- Fase local Illes Balears)

En una reunió hi assisteixen al·lotes i al·lots, que són 20 en total. Se sap que n'Agnès ha ballat amb 7 al·lots, na Neus ha ballat amb 8 al·lots, na Maria ha ballat amb 9 al·lots i així successivament, fins arribar a na Sara, que va ballar amb tots els al·lots.

Quants al·lots hi ha en total?

ENGINY 2  

La intuïció ens diu que no sembla gaire complicat i d’altra banda fa la impressió de no reunir totes les dades necessàries.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 213 (ampliació problema 150)

Una farmàcia va rebre una partida de cinc flascons de certa medecina. Cada un contenia un miler de pastilles.

Encara no havien acabat de col·locar-los a la prestatgeria quan reberen un missatge on se’ls advertia que s’havia comès un error: alguns flascons ,no deien quants ni quins, estaven dosificats en excés. 

Totes les pastilles d’aquests flascons pesaven 10 mil·ligrams més que les pastilles normals, el pes de les quals figurava a l’etiqueta. Calia identificar-los.

El senyor apotecari ,afeccionat als reptes matemàtics, va pensar que potser amb una sola pesada (de bàscula d’un sol plat i graduada en mil·ligrams) podia identificar quins flascons havia de retornar al laboratori. I ho va aconseguir. Com?

ENGINY 4  

El problema 150 és equivalent a la versió més senzilla d’aquest, i correspon al cas en què tan sols un dels flascons està sobredosificat .

Llavors es prenia 1 pastilla d’un flascó (diguem-li f1), 2 d’un altre (f2), 3 del f3 ...

Com es passa al cas més general?

AJUDA I SOLUCIÓ