Problema 202 (XLVI Olimpíada Matemàtica – fase Illes Balears)

Troba totes les solucions reals de  

x² – 5[x] + 3 = 0

[x]= part entera d’x

ÀLGEBRA 4

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 201

Una conferència internacional reuneix 15 delegats d’Àfrica, Àsia, Amèrica i Europa. Cada continent envià un nombre diferent de delegats i tots n’enviaren al menys un. Amèrica i Àsia n’enviaren 6 en total, Àsia i Europa un total de 7. Un continent n’envià 4 , quin d’ells va ser?

ENGINY 1

Pots provar les quatre opcions. No té secret.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 200 (Un clàssic del pensament indirecte)

Tenim un tauler d’escacs. Tenim 32 fitxes de dominó; cada una d’elles taparia exactament dos quadres adjacents del tauler.

 És perfectament possible cobrir les 64 caselles del tauler amb les 32 fitxes de dominó dipositades seguint les files o columnes del tauler. Fins i tot mentalment es veu la cosa feta.

Eliminam dos quadres del tauler. No dos quadres qualssevol , sinó els quadres extrems d’una de les dues diagonals. Eliminam una fitxa de dominó.

S’ofereix un premi d’un milió d’euros a qui sigui capaç de recobrir ara el tauler resultant amb les trenta-una fitxes que queden.

Què passa aquí?

ENGINY 3

Ajuda i solució

Problema 199

Completa el quadrat màgic següent (format pels setze primers nombres naturals)

1
		2
	3	16
15			4

ENGINY 2

En un quadrat màgic les files, columnes, i les dues diagonals han de sumar el mateix.

Pots començar calculant aquesta suma comú

ajuda i solució

Problema 198 (“Para pensar mejor” – Miguel de Guzmán)

Em diu un alumne per telèfon que ha construït un triangle i que després ha midat les tres altures ,resultant ser de 1, 2 i 3 cm , respectivament.

Tenc la intuïció que m’enganya. Com ho puc saber?

GEOMETRIA3

Tres longituds no garanteixen l’existència d’un triangle que les tengui com a mides dels seus costats.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 197

Tres equips de futbol – A,B,C – disputen un torneig triangular a una sola volta. Jugats alguns partits, potser tots, tenim una taula de resultats amb algunes dades.

	jugats	guanyats	perduts	empatats	gols a favor	gols en contra
A					3
B		2			2
C				1

Completau la taula de resultats.

ENGINY 2 

No sembla massa difícil completar la graella.

ajuda i solució

Problema 196 (“Problemas con pautas y números”- Universidad del País Vasco)

Es tracta d’un joc  per a dos jugadors. Col·locam una fitxa en el lloc marcat α . Alternativament, cada jugador desplaça la fitxa entre 1 i 6 punts , sempre cap a dins de l’espiral. El primer jugador que arriba al punt marcat ω guanya la partida.

Intenta trobar una estratègia guanyadora.

I si el primer que arriba perdés la partida?

JOCS 1  

Potser convé enumerar els punts...

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 195

Quines són les tres darreres xifres de 7²⁰¹⁶  ?

NOMBRES 4

Segur que les successives potències de 7 tenen terminacions de tres xifres organitzades cíclicament. Però determinar aquest cicle pot ser molt i molt laboriós.

Millor aprofitar altres recursos, per exemple que l'exponent és parell...

ajuda i solució