Problema 98 ( Lliga Matemàtica de l’Estat de Nova York 1987 )

El diagrama mostra una circumferència que té inscrit un rectangle remuntat per mig cercle.(la circumferència passa per dos vèrtexs i és tangent a la semicircumferència com es veu a la figura).

Si les dimensions del rectangle són 30 i 10  calcula la mida del radi de la circumferència gran. 

GEOMETRIA 2 

El teorema de Pitagoras (el teorema de l’altura, si ja tens certa edat), i aviat està resolt. 

Ajuda i solució

 

Problema 97 (“The Little Giant Book of Logic Puzzles” – Norman D.Willis)

Dos cavallers  s’acosten a quatre dracs empresonats i els demanen de quin color i raça són. Els cavallers saben que els dracs racionals grisos i els predadors rojos sempre diuen la veritat, mentre que els racionals rojos i els predadors grisos sempre menteixen. Els quatre dracs responen així:

A: 1. Tan sols dos de nosaltres diem la veritat

     2. Jo no som un drac predador

     3.  C sempre menteix

B: 1. Tant A com jo mateix diem la veritat

     2. El drac D i jo som del mateix color

C: 1. Jo som l’únic de nosaltres que diu la veritat

     2. Jo no som un drac predador

D: 1. El drac A no diu la veritat

     2. C i jo som dracs del mateix color

Pensant  pensant, els cavallers sabran de quin tipus i color és cadascun d’ells

LÒGICA 3

Algunes de les respostes són particularment interessants. Quina classe de personatge pot dir, per exemple, “jo no som un drac predador” ?

Si vols, pots començar per aquí.

ajuda i solució

Problema 96 ( XVII Olimpíada Internacional )

Escrivim 4444⁴⁴⁴⁴ en notació decimal. Sigui M el nombre resultant. Sumam els dígits de M i obtenim A de resultat. Si B és la suma dels dígits de A,  calcula la suma dels dígits de B.

NOMBRES 4   

 

Difícil, però no impossible. Alguna propietat resta invariant quan passam d’un nombre enter a la suma dels seus dígits i per aquí podem gratar...

solució

Problema 95 (“Cuentos y cuentas de los matemáticos” – M.C.Rodríguez Vidal)

Tres firaires arriben a la fira,cada un amb una certa quantitat de rals. El primer compra vi als altres dos i paga a cada un tants rals com tenen. Després, el segon compra ciurons als altres dos, pagant tants rals com cada venedor té. Finalment, el tercer compra oli als altres dos i repeteix l’operació: dobla els rals que té cada un dels venedors. Acabades les vendes se’n van amb 48 rals cada un. Es vol saber quants rals tenia cadascú en arribar a la fira.

ENGINY 2 

Recorda que de vegades convé procedir a la inversa, començar pel final i remuntar la corrent. 

Això o l’àlgebra

ajuda i solució

Problema 94 (Olimpiada Matemàtica 2007 Primera Fase -IIles Balears)

En cada planeta d’un sistema planetari hi ha un únic astrònom , el qual observa el planeta més proper (totes les distàncies interplanetàries són diferents). Si el nombre de planetes és imparell, provau que hi ha almenys un planeta que no és observat,

LÒGICA 4   

Potser si comences amb un conjunt senzill de planetes i proves de connectar-los seguint l’enunciat ...

demostració

Problema 93 (“Jeux de l’esprit et divertissements mathematiques” - Jean Pierre Alem)

El senyor Durand va quedar amb la seva dona a l’església de Saint Eustache. Ell va arribar abans d’hora i ,com que feia fred, va decidir entrar en calor recorrent la galeria rectangular que volta la nau central i el cor, i on es troba la porta principal de l’església. La senyora Durand va arribar més tard i també ella va posar-se a donar voltes per la galeria en el mateix sentit i velocitat idèntica.

La galeria rectangular és el doble de llarga que d’ampla . Quina probabilitat hem d’assignar al fet que els dos cònjuges voltin i voltin per la galeria sense que arribin a veure’s?

PROBABILITAT 3

Sembla difícil, però potser no ho sigui tant. 

ajuda i solució

Problema 92

Aquesta imatge, és la representació d'un triangle de perímetre 2016m o és un simple espectre triangular?
En qualsevol cas
Sabries calcular el nombre de triangles de 2016m de perímetre que tenen tots tres costats d'un nombre enter de metres

 GEOMETRIA 3   

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 91 (“El llibre dels enigmes” - Ximo Cerdà i Albert Alforcea)

ELS PIRATES COIXOS

Un vaixell pirata naufraga prop d’una illa. Quatre pirates aconsegueixen arribar nedant a la costa,però aviat s’adonen que han anat a parar a l’extrem despoblat de l’illa. Han de creuar tota l’illa si volen salvar-se de la maledicció del desert.

Tots quatre són coixos, només tenen una cama cada un, i per a desgràcia seva només han aconseguit salvar una cama de fusta de les restes del naufragi. Els pirates estan disposats a compartir-la, però només ho poden fer de dos en dos: dos pirates es lliguen la cama de fusta a la cuixa coixa i així poden fer el trajecte junts.

El pirata Argard seria capaç de fer el trajecte sol en mitja hora; Bergondi és una mica més lent i trigaria una hora; Corpiden tarda dos dies i mig en fer el camí, i Dormanci és gras i no pot cobrir el trajecte en menys de cinc dies.

Si dos pirates segueixen el procediment esmentat cobriran el trajecte en el temps del més lent del dos ,i malauradament necessiten haver arribat tots quatre  a l’altre extrem de l’illa en vuit dies i mig com a màxim; en cas contrari la maledicció del desert els eliminarà a tots. En quin ordre hauran de fer el trajecte els pirates?

ENGINY 2 

Si proves diferents ordres i calcules els dies que fan falta, aviat t’adonaràs de dues qüestions que t’indicaran la solució.

ajuda i solució