PROBLEMA 300 + 50

Tres amics decideixen jugar a póquer amb fitxes. Comencen amb 1998, 2998 i 3998 fitxes respectivament. Un d’ells proposa les següents regles: “A cada jugada tots apostarem el mateix nombre de fitxes, al manco una; la quantitat la decidirà el que en aquell moment sigui més pobre  (en fitxes)”.

Un altre demana: “ I què farem si els dos més pobres tenen la mateixa quantitat de fitxes, què passa aleshores?

El primer respon: “Això no passarà ,és impossible”.

Com n’està tan segur?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300+49

(Proves Cangur 2019 nivell 2batx)

Del conjunt {1, 2, 3…10} n’escollim a l’atzar tres nombres diferents. Quina és la probabilitat que un dels tres sigui la mitjana dels altres dos? 

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300+48

(“Alice in puzzle-land”- Raymond Smullyan)

Havien robat el llibre de receptes a la Reina de Cors. El principal sospitós era la cuinera de la duquessa; de fet, el llibre va aparèixer a la cuina de la duquessa. Només hi havia tres sospitosos: la cuinera, la duquessa i el moix de Cheshire.

-El llibre el va robar el moix de Cheshire!- va dir la duquessa en el judici.

-Sí. Jo el vaig robar- va dir el moix amb un gran somriure.

-Jo no el vaig robar! - va dir la cuinera.

El lladre havia mentit i al menys un dels altres dos havia dit la veritat.

Qui va robar el llibre de receptes?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 47

(un clàssic de Boris Kordemsky)

Un jove ambiciós i mandrós ha convocat el diable per tal d’aconseguir fer-se ric sense gaire esforç.

Estan a la vora d’un riu. El diable li proposa un senzill negoci:

-Veus aquest pont?. Si el creues et doblaré els diners que tens a la butxaca. De fet, cada vegada que el passis et doblaré els diners que tenguis.

-Vaja!

-Però hi ha una petita condició;jo som generós, però tu m’hauràs de donar 24 rubles després de cada traspàs.

El jove hi consentí. Creuà el pont i comprovà que el seu capital s’havia doblat

Va donar 24 rubles al diable i tornà ràpid a creuar el pont.

Els diners s’havien doblat altra vegada, així que tornà pagar 24 rubles al vell diable.

Per tercera vegada va creuar el pont i per tercera vegada doblà la quantitat de diners que tenia.

Però , la sorpresa va ser gran, ara el jove només tenia 24 rubles. No podia fer altra cosa que pagar els 24 rubles i quedar-se amb les butxaques buides.

Quants rubles va perdre el jove?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 46

(“Alice in puzzle-land”- Raymond Smullyan)

Un home havia d’anar en bicicleta a l’estació del tren que era dotze quilòmetres lluny. Va pensar de la següent manera: “Tenc una hora i mitja de temps per arribar-hi. Quatre quilòmetres són costa amunt i hauré de fer-los a peu, a quatre per hora; hi ha quatre quilòmetres de baixada , i aquests els faré a dotze per hora; els quatre restants són plans i podré anar a vuit per hora. La mitjana és de vuit quilòmetres per hora , per tant arribaré a l’hora exacta”. És correcte el seu raonament?

ajuda i solució

PROBLEMA 300 + 45

(Youtube - Genial) 

Quatre nins estan formats en fila. Tots miren en una mateixa direcció. Una paret separa el quart dels altres tres

El primer pot veure el segon i el tercer

El segon pot veure el tercer

El tercer i el quart no en poden veure cap.

Cada un porta una gorra del color que es veu a la figura.

Se’ls informa que hi ha dues gorres vermelles i dues color de cel, però cap d’ells sap el color de la seva.

No poden girar-se,ni moure’s,no poden parlar ni treure’s la gorra.

Té premi el primer que cridi quin color té la seva gorra i ho faci amb la certesa d’encertar segur. Qui guanyarà?

Ajuda i solució

PROBLEMA 300 + 44

(Revista CACUMEN no43) 

Posau les xifres de l’1 al 8 , sense repetir-ne cap, en els cercles de la figura de forma que els vèrtexs de cada un dels quatre triangles vermells sumin el mateix, i que aquesta suma sigui la més baixa possible.

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 43

(Revista CACUMEN no.39)

En un congrés es parlaran sis idiomes . A part del català hi haurà el francès, l’alemany, l’anglès, l’holandès, el polonès i el galès. Una persona dotada de sentit de l’humor ha contractat sis intèrprets els llinatges dels quals són: Francès, Alemany, Anglès, Holandès, Polonès i Galès.

Cada un d’ells parla (a més del català) dos dels sis idiomes i cada idioma és parlat per dos d’ells. Hem sabut: 

(primer) Els intèrprets Francès i Holandès parlen, entre tots dos, els quatre idiomes que no són ,justament, ni francès ni holandès. 

(segon) Els traductors que tenen per llinatges els noms dels dos idiomes parlats pel senyor Holandès parlen francès.

(tercer) El traductor de cognom Anglès parla alemany i holandès

(quart) Un dels seus col·legues parla holandès i polonès i cap d’ells parla alhora polonès i alemany.

Quins dos idiomes parla Polonès ?

Ajuda i solució

PROBLEMA 300 + 42

(Revista CACUMEN no. 39)

Quatre parelles joves, els Greens,Pinks,Browns i Whites, són excel·lents jugadors de tennis i han organitzat un torneig de dobles mixtes.

Han convingut que cada persona formarà parella amb el cònjuge de cada una de les altres, contra cada una de les altres parelles formades de la mateixa manera. En cap cas els jugadors formaran parella amb el propi cònjuge.

Si juguen dos partits cada dia, quants dies durarà el torneig?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 41

(“Scientific American”- Martin Gardner)

Teniu tres persones davant vostre. Una contesta sempre dient la veritat, una altra sempre menteix i la tercera contesta a l’atzar, de vegades menteix i altres diu la veritat. No sabeu quina és cadascuna d’elles, però les tres es coneixen perfectament entre sí. Com podeu identificar les tres fent només tres preguntes?

(Les preguntes poden adreçar-se a qualsevol dels tres i han de poder ser contestades amb un “sí” o un “no”).

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 40

(vist a Youtube- exposició de Adrián Paenza)

Tres amics, Aina , Biel, i Claudi,  juguen un capvespre a ping-pong. S’enfronten dos d’ells en una partida i qui guanya jugarà tot seguit contra el tercer que descansava. Aquest ritme es va repetint fins al final: juguen dos i el guanyador s’enfronta al tercer que esperava. Acaba el temps de jugar i resulta que Aina ha jugat 17 partides, Biel 15 i Claudi 10 .  Qui va perdre la segona partida?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 39

Copa Cangur Internacional 2017

Quants nombres de dos dígits N tenen la propietat que tres cops N és més petit que el nombre que obtens a l’intercanviar les xifres de N ?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 38

Copa Cangur Internacional 2018

Mil persones seuen al voltant d’una taula rodona. Cadascuna d’elles és honesta (que sempre diu la veritat) o mentidera (que sempre menteix). Totes elles diuen: “Estic asseguda al costat d’una persona mentidera i d’una honesta”. Quantes persones mentideres hi ha a la taula?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 37

IV Copa Cangur

Tenim sis bosses que contenen 18,19,21,23,25 i 34 boles respectivament.En cinc d’aquestes bosses totes les boles són blanques i en l’altra totes són negres. En Joan agafa tres bosses de les que tenen les boles blanques. En Jaume agafa les altres dues bosses de boles blanques. Al comptar les boles de cadascú observen que en Joan té exactament el doble de boles que en Jaume. Quantes boles té en Joan? 

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 36

VI Copa Cangur

Si simplificam la fracció 100! / 2¹⁰⁰  fins a obtenir una fracció irreductible, quin serà el denominador?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 35

(Un criptograma senzill)   

Reconstruïu aquesta multiplicació, on les X són dígits qualssevol

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 34

VI Copa Cangur 2019

El professor de matemàtiques va fer tres proves per qualificar els seus alumnes. Tots els alumnes havien de fer ,com a mínim, dues proves i n’hi va haver 12 que van fer les tres proves. Si el 70% dels alumnes van fer la primera, el 80% van fer la segona i el 90% van fer la tercera, quants alumnes hi havia a la classe?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 33

Eurocup 2016

Cada lletra representa una sola xifra entre 0 i 9. Lletres diferents representen xifres diferents. Quant val la suma de les diferents sumes que es poden obtenir (és a dir, la suma dels nombres GOOD que poden ser resultat de l’operació)?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 32

V Copa Cangur 2018 (fase final catalana)

La Jana va pensar un nombre de tres xifres, i quatre amigues seves van provar d’endevinar-lo, proposant els nombres 541, 837, 291 i 846. La Jana els va dir: “Cadascuna de vosaltres heu encertat exactament una de les xifres del nombre, i les quatre l’heu encertat en la posició correcta. A més, cadascuna de les xifres del nombre ha estat encertada almenys per una de vosaltres”. Quin és el nombre que va pensar la Jana?.

ajuda i solució

PROBLEMA 300 + 31

III Copa Cangur 2016 (primera fase)

A la pastisseria de la Valentina hi ha capses de galetes (més d’una). Sabem que totes les capses contenen el mateix nombre de galetes, i que hi ha més d’una galeta a cada capsa. La Valentina assegura que si ens digués el nombre exacte de galetes que hi ha en total, aleshores podríem deduir amb tota seguretat quantes capses hi ha. Si el nombre total de galetes està entre 200 i 300, quantes capses hi ha?

Ajuda i solució

PROBLEMA 300+30

Cangur Eurocup 2018

Hi ha 30 portes en un edifici i el bidell n’ha barrejat les 30 claus (totes diferents). En el pitjor dels casos, quantes proves haurà de fer per tal de saber a quina porta correspon cada clau?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 29

Copa Cangur Catalunya 2018 

Una pilota de futbol està formada per 12 pentàgons regulars i 20 hexàgons regulars. Els costats dels pentàgons i dels hexàgons tenen una longitud de 4’5cm.

Quina és la longitud total de les costures que mantenen enganxats els pentàgons i els hexàgons?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 28

LIV OME

Sigui n un nombre natural. Provar que si l’última xifra de 7ⁿ és 3, la penúltima és 4.

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 27

Proves Cangur 1999

Una illa és habitada per persones honrades,que sempre diuen la veritat, i per mentiders,que sempre menteixen. Hi ha 1999 persones a l’illa. A cada una d’elles li agrada o bé cantar, o bé jugar a futbol, o bé pescar, però només una d’aquestes activitats. Un dia es va fer una enquesta a cada habitant de l’illa que consistia en tres preguntes:

1. T’agrada cantar?
2. T’agrada jugar a fútbol?
3. T’agrada pescar?

1000 persones van contestar afirmativament la primera pregunta , 700 persones la segona ,i 500 la tercera. Quants mentiders hi ha a l’illa?

AJUDA I SOLUCIÓ

PROBLEMA 300 + 26

XLVI Olimpíada Matemàtica Espanyola fase local 

Un jardiner ha de plantar en una fila al mig d’un camí tres roures ,quatre alzines i cinc píns.  Planta els arbres a l’atzar ,essent la probabilitat de plantar un arbre o un altre la mateixa.

Calcula la probabilitat del fet que, un cop plantats tots els arbres, no hi hagi dos píns consecutius.

AJUDA I SOLUCIÓ