Problema 300 + 2

Simplificació d'un problema plantejat a la LIII Olimpíada Matemàtica Espanyola.

Joc d’estratègia per a dos jugadors. Tenim un tauler format per una fila de 24 caselles, numerades de manera consecutiva del 0 al 23, i posam una sola fitxa a la casella 0.A cada torn cadascun dels dos jugadors mou la fitxa (tots dos la mateixa) i poden fer dues coses: avançar 5 caselles o retrocedir-ne 2. No és possible que , en fer una jugada, algun dels jugadors surti del tauler (ni per sota del 0 ni per sobre del 23). Guanya la partida el jugador que col·loca la fitxa a la casella 23. Quin jugador, el primer o el segon, té avantatge. Quina és l’estratègia guanyadora?

I si hi ha 32 caselles (0…31) i seguim les mateixes regles?

I si hi ha 23 caselles i els moviments són +7 o -2 ?

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 300 + 1

En el Regne de Ponent torna haver-hi escorcolls a volèr i massa presos polítics. El comandament major de la policia ,de malnom XXX, té el mal vici d’ordenar missions als seus agents en forma de problemes matemàtics, la qual cosa té pocs avantatges i molts inconvenients. No cal dir que la gent que treballa amb ell ,per força ha hagut d’afinar ullals matemàtics. I sovint no a bastament.

Fa dos dies els va encomanar l’escorcoll de 5 vivendes d’un mateix carrer. Ho va fer de la següent forma:

“El producte dels 5 números dóna 960 de resultat i la seva suma és un nombre primer. Començau pel cap baix del carrer i seguiu l’ordre creixent de la numeració. Alerta que en aquest carrer hi ha peixos grossos de la política i no els hauríem de fer enfadar”

Partiren els agents ,i no havien passat ni dues hores quan reberen el següent missatge de XXX:

“Animals!!; encara no heu arribat a la tercera casa i ja l’heu espifiada. El sots-secretari està que s’encén i m’ha amenaçat amb la santa inquisició.Naturalment,com pertoca a tota organització correctament jerarquitzada, jo vos calaré foc amb molt de gust quan torneu”.

XXX no era del tot just en aquesta ocasió; saps dir quins números tenien les cinc cases que s’havien d’escorcollar?

Ajuda i solució

Problema 300 ("Lliga Matemàtica interestatal 1988 - USA)

La germana petita d’en Dani ha canviat la coberta de les tecles de la calculadora sense que ell se n’hagi donat compte. A l’esquerra hi ha la configuració original de la calculadora i a la dreta la nova configuració.Per tant, si Dani pressiona la tecla amb un 4 en realitat la calculadora rep un cinc que ,d’altra banda, .es el que surt a la pantalla.

Despistat com ell totsol, Dani introdueix el nombre primer p de dos dígits i el primer q d’un dígit i ordena sumar-los.Sorprenentment la resposta que apareix en pantalla és la correcta. Quin és el parell (p,q) ?

ENGINY 2 

ajuda i solució

Problema 299 (“Math Puzzles and Games” - Michael Holt)

Dóna a un amic  llapis i paper i dos daus normals. Faràs de mag aficionat.

Tu te gires d’esquena i li dius que col.loqui els daus un devora l’altre, de la manera que vulgui, però que poguem llegir d’esquerra a dreta un nombre de dues xifres format pels punts de les cares superiors (35 en el cas de la figura). Digues-li que giri els daus i faci el mateix amb les noves cares superiors (42 en el cas de la figura). Que formi un nombre de quatre xifres escrivint aquest nombre a continuació de l’altre (3542) i el divideixi per 11.

Ell t’ha de dir el resultat i tu has d’endevinar les cares superiors dels daus al començament. Com ho faràs?

MÀGIA 2

AJUDA I SOLUCIÓ

L’àlgebra elemental permet resoldre i plantejar innombrables petits trucs de màgia 

Problema 298 (“Ingenuity in Mathematics” - Ross Honsberger)

Calcula la probabilitat que dos nombres positius x i y ,totsdós menors que 1, elegits a l’atzar, formin, juntament amb l’1, una terna de nombres (x , y , 1) que puguin ser costats d’un triangle obtusangle. 

PROBABILITAT 4

ajuda i solució

Problema 297 ( “Ingenuity in Mathematics” - Ross Honsberger)

Tres homes, Arnold, Brown i Clark ocupen els càrrecs de relacions públiques, xòfer i gerent de l’empresa Cocodriles a Go-go.Sabem que:

1. Si Clark és el relacions públiques, Brown és el xòfer
2. Si Clark és el xòfer, Brown és el gerent 

3. Si Brown no és el relacions públiques, Arnold és el xòfer

4. Si Arnold és el gerent, Clark és el xòfer

Quina ocupació té cada un ?

LÒGICA 2

ajuda i solució

Problema 296 (Proves Cangur 2017)

S’escull un punt D del costat AC del triangle ABC de manera que DC=AB. Els punts M i N són els respectius punts mitjans dels segments AD i BC . Quina relació hi ha entre els angles <BAC i <NMC? 

GEOMETRIA 3

ajuda i solució

Problema 295 (“Matemagia” - Fernando Blasco)

El mag proposa a l’espectador que ha pujat dalt de l’escenari que escrigui una filera de deu dígits. Hi pega una ullada i escriu en un paper un resultat que lliura a algú neutral, potser una persona del públic elegida a l’atzar.

Tot seguit explica la feina a fer, que és considerable. Han de sumar cada dos dígits adjacents. Si el resultat supera la desena han de sumar els dígits del nombre format, fins a quedar reduït a una sola xifra. Així s’obtindrà una filera de nou dígits, sobre la qual repetiran el procés indicat, per obtenir-ne una de vuit dígits, després set , sis, fins arribar a una filera d’una sola xifra que amb total solemnitat serà escrita en algun lloc visible per a tothom. 

Després de la litúrgia acostumada i de diferents maniobres encaminades a l’entreteniment, el mag recordarà que havia previst com aniria tot allò i que un espectador en guarda el testimoni en un paper arrugat.

L’espectador llegirà el que hi havia escrit al paper i, !sorpresa!, coincidirà amb el resultat final obtingut després de tantes sumes.

MÀGIA 4

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 294 ("Ludopatía matemática" - Mariano Mataix)

Un criptograma

ENGINY 2

ajuda i solució

Problema 293 (Proves Cangur 2017)

En les cares d’un dau hi ha els nombres -3, -2, -1, 0, 1 i 2 . Si el tirem dues vegades i multipliquem els resultats, quina és la probabilitat que el producte sigui negatiu?

PROBABILITAT 2

ajuda i solució

Problema 292 (“Satan, Cantor and Infinity” - Raymond Smullyan)

El planeta Og està habitat per dues classes de persones: la gent verda i la gent roja. A més d’això, les persones nascudes a l’hemisferi nord són molt diferents a les nascudes a l’hemisferi sud.

Els del nord verds sempre diuen la veritat i els del nord rojos sempre menteixen, mentre que els del sud verds sempre diuen mentida i els del sud rojos sempre diuen la veritat.

Dos nadius de noms Ork i Bork feren les següents declaracions:

Ork: Bork és del nord

Bork: Ork és del sud

Ork: Bork és roig

Bork: Ork és verd

De quin color és Ork i d’on ve? I Bork?

LÒGICA 3

ajuda i solució

Problema 291 (Proves Cangur 2017)

Els 2017 habitants d’una illa són de dues menes diferents. Cadascún, o bé és mentider (i sempre diu mentida) o bé no és mentider (i sempre diu la veritat) . Més de mil d’aquests habitants participen en un banquet asseguts en un taula rodona. Cada un d’ells diu: les dues persones que tinc al costat, són de menes diferents. Quants no mentiders hi ha com a màxim a l’illa?

ENGINY 3

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 290 (“Para pensar mejor” - Miguel de Guzmán)

Demostrau que si a,b,c són nombres senars, 

l’equació ax² + bx + c = 0 no pot tenir solucions racionals

NOMBRES 4

ajuda i solució

Problema 289 (“Ludopatía Matemática” - Mariano Mataix)

En una fàbrica tèxtil hi ha quatre telers. El més ràpid dels quatre fabrica x metres de tela en 7 hores , i el més lent fabrica x metres de tela en 8 hores. Quin dels següents nombres : 

7’2 ,7´3 , 7´5 , 7’6 i 7’7 

no pot ser el temps mitjà per teler , per a cada un dels telers, per fabricar x metres de tela?

ENGINY 1

ajuda i solució

Problema 288 (“Para pensar mejor” - Miguel de Guzmán)

Un senyor va arribar a un pont ferroviari i començà a córrer per ell. Quan havia recorregut 3/8 del pont va sentir el xiulet del tren. Immediatament va fer el càlcul: ”si torn enrera arribaré a l’inici del pont exactament en el mateix moment que el tren hi entrarà, això corrent a la meva velocitat de 10 km/h. I si seguesc endavant fins al final amb aquesta velocitat arribaré al cap del pont en el mateix moment que el tren”.   A quina velocitat va aquest tren?

ENGINY 2 

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 287 (“The Puffin Book of Brainteasers” - Eric Emmet)

Hi ha a Madrid una oficina oblidada del món que té set treballadors: Alfonso , Bruno, Carla, Diana, Ernesto, Facundo y Gonzalo. És un tant surrealista, però tots tenen encomanada una feina: hi ha l’obridor de portes, el tancador de portes, el llustrador de manetes , l’encarregat de les botelles d’aigua, el cafeter , el de la granera, i el cap de secció que governa la petita nau, no fos cosa que patissen un daltabaix.

-Alfonso no se’n cuida de les botelles d’aigua ni és el cap de secció.Facundo no és enllustrador ni obridor de portes ni cap de secció

-Bruno és cafeter, tancador de portes o granedor ; Diana és enllustradora de manetes o granedora.

-El tancador de portes no és Bruno ni Carla ni Gonzalo, l’encarregat de la granera no és Bruno ni Ernesto ni Facundo. Això sí, l’obridor de portes és Alfonso, Carla o Facundo

-L’enllustrador de manetes no és Carla ni Diana ni Gonzalo. I el cap de secció no és Carla ni Gonzalo.

Quin és el treball que fa cada un dels set?

LÒGICA 1 

ajuda i solució

Problema 286 (“The Puffin Book of Brainteasers”- Eric Emmet)

El gol és la màgia del futbol; totes les innovacions encaminades a augmentar-ne la quantitat han tengut un èxit relatiu. Ara es proposa un nou sistema de puntuació: 10 punts per la victòria, 5 punts per l’empat i un punt per cada gol marcat ,sigui quin sigui el resultat final del partit. Així: un empat 2-2 donaria set punts a cada un dels contrincants i una victòria 3-1 donaria tretze punts al guanyador i un punt al derrotat.

Aquest sistema s’està provant en un torneig de tres equips juvenils que han de jugar tots contra tots a una volta. En un moment determinat l’equip Aguilot té 8 punts, el Borinot en té 14 i el Culebrot 9 i a tots els partits jugats hi ha hagut algun gol. Quins són els resultats dels partits ?

ENGINY 2

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 285 (“The Puffin Book of Brainteasers” - Eric Emmet)

Un altre criptaritme dels senzills,una suma.

   X  M  A

 X  X  A

 M  X  X

ENGINY 1

ajuda i solució

Problema 284 (XLIV Olimpíada Matemàtica Espanyola - Fase local Madrid)

A l’interior del triangle equilàter ABC elegim a l’atzar un punt P . Quina és la probabilitat que l’angle APB sigui obtús?

PROBABILITAT 4

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 283 (“Alice in puzzle-land” - Raymond Smullyan)

-És una endevinalla sobre la LLebre de Març i el Capeller. Un dels dos va néixer el 1842, però no us diré qui. L’altre va néixer el 1843 o 1844, però tampoc no us diré qui. També us diré que la Llebre de Març va néixer el mes de Març , ho sabíeu? 

-No- va dir Alícia -, però no em ve de nou.

-Ni a mi - va dir la falsa tortuga.

-Dons, la Llebre de Març - va continuar el Griu - té un rellotge que…

-Ah sí- el va interrompre Alícia-, un rellotge molt estrany que diu el dia del mes enlloc de l’hora del dia. L’he vist.

-No aquest rellotge! - cridà el Griu-; en té un altre que diu l’hora com tots els altres rellotges. El Capeller també en té un. Cap dels dos funciona a la perfecció; el del Capeller s’avança deu segons cada hora, i el de la LLebre s’endarrereix deu segons cada hora. Un dia de gener els dos varen posar en hora els seus rellotges exactament a les dotze del migdia.”Te´n dónes compte”, va dir el Capeller,”que els nostres rellotges no tornaran a marcar la mateixa hora al mateix instant fins el dia del teu aniversari, el dia que compleixis els vint-i-un? “.

-Perfectament- respongué la Llebre de Març.

Qui és més vell? , la Llebre o el Capeller?

ENGINY 2

ajuda i solució

Problema 282 (L OLIMPÍADA MATEMÀTICA ESPANYOLA Comunitat de Madrid - Fase zero)

Un triángle té dos costats iguals de llargada 5. ¿Quina longitud ha de tenir el tercer costat per a que sigui máxima la seva àrea?

CÀLCUL 3

Per fer-ho diferent del problema 47 d’aquest mateix blog, comencem fent servir el càlcul diferencial...

AJUDA/SOLUCIÓ

Problema 281 (“The lady or the tiger? and other logic puzzles” - Raymond Smullyan)

Tres persones ,Aina ,Bernat i Clàudia, són lògics perfectes: cada un pot deduir instantàniament totes les conclusions de qualsevol grup de premises. Cada un és conscient també de la saviesa dels altres dos. Els hi hem mostrat set segells; eren tres segells verds, dos rojos i dos grocs. A continuació hem tapat els ulls de tots tres  i a cada un li hem enganxat un segell al front; Hem amagat dins un calaix els quatre segells restants. 

Fet això, els hem alliberat de les benes respectives i hem demanat  a Aina:

-Pots dir un color que amb total seguretat no portes enganxat al front?

Aina respon:

-No

A continuació hem fet la mateixa pregunta a Bernat, qui ha repost:

-No

És possible ,amb aquesta informació, deduir el color del segell d´Aina , del de Bernat, del de Clàudia? 

LÒGICA 3 

ajuda i solució

Problema 280 (XLVI Olimpíada Matemàtica Espanyola - Fase local Madrid)

Col.locam alineades i a l´atzar tres bolles vermelles, dues blanques y una blava. ¿Quina es la probabilitat del fet que no hi hagi dues bolles del mateix color juntes?

PROBABILITAT 2

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 279 (“Para pensar mejor” - Miguel de Guzmán)

Dins un cercle fixam un punt P .  Volem determinar el lloc geomètric dels punts mitjans de totes les cordes que passen per P.
GEOMETRIA 3

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 278 (XLVII OLIMPÍADA MATEMÀTICA ESPANYOLA fase local Madrid)

Per a quants enters positius n resulta que  n  i  n3 + 3  són totsdós primers?

NOMBRES 2 

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 277 (53a Olimpíada Matemàtica Espanyola. fase local a les Illes Balears)

Dos jugadors juguen el següent joc. Per torn, col·loquen sobre un quadrat arbitrari d’una quadrícula 100 × 100 una moneda d ́1 euro de manera que no es superposi amb cap altra ja col·locada. Guanya el jugador que al posar la seva moneda pot formar, amb altres tres monedes col·locades en moviments anteriors, els quatre vèrtexs d’un rectangle que tengui els costats paral·lels al de la quadrícula.

Demostrau que el jugador que fa el segon moviment, seguint una estratègia apropiada, pot guanyar sempre.

JOCS 3

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 276

En un país, el 20% de la població posseeix el 80% de la riquesa, mentre que el 80% restant posseeix el 20%.

Quantes vegades és una persona rica més rica que una pobra?

ENGINY 1

ajuda i solució

Problema 275 (“Para pensar mejor” – Miguel de Guzmán)

Dos jugadors: A i B. Dos caramulls de mistos damunt  la taula. Juga A primer; pot agafar un misto d’un caramull o un misto de cada un dels dos caramulls. Després juga B; igualment pot agafar un misto d’un caramull o bé dos , però un de cada caramull. Guanya qui s’endugui el darrer misto.

Pots indicar una estratègia per a algun dels dos jugadors de manera que guanyi sempre?.

Si un caramull té 6 mistos i l’altre 10. Qui vols ser, A o B?

JOCS 2

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 274 (“Thinking Strategies” – Larry E. Wood)

L’oncle d’en Joan li va oferir una moneda d’or si era capaç de descobrir-la entre altres 23 monedes aparentment iguals que ella, amb la diferència que ,per ser aquestes vint-i-tres de bronze, pesaven un poc menys. Havia de resoldre la qüestió mitjançant una balança de dos plats i sense peses i només podia fer tres pesades. Com ho va aconseguir?

ENGINY 1 

AJUDA i SOLUCIÓ

Problema 273

Tenen tots els anys un dimarts 13 ?

ENGINY 1

AJUDA/SOLUCIÓ

Problema 272 (“Thinking Strategies”- Larry E. Wood)

Quatre vaques negres i tres vaques marrons donen tanta llet en cinc dies com tres vaques negres i cinc vaques marrons en quatre dies. Quina classe de vaca és més bona productora de llet,la negra o la marró?

ENGINY 1 

ajuda/solució

Problema 271 ( “Thinking Strategies”- Larry E. Wood)

5	1	4	6	0	3	3	5
6	5	4	6	2	2	4	0
4	5	4	5	0	0	2	5
6	2	1	3	3	6	3	0
4	2	3	5	0	1	6	6
0	1	4	1	4	1	5	6
2	1	3	2	0	3	2	1

Tenim sobre la taula un joc complet de fitxes de dominó formant un patró rectangular amb algunes d’elles col·locades en sentit vertical i altres en sentit horitzontal, però totes en contacte amb alguna altra. Algú ha copiat la posició dels nombres de punts, però no ha delineat la silueta de les fitxes. La tasca consisteix en determinar quin són els nombres que van junts formant fitxes separades i dibuixar-ne les siluetes de totes.

ENGINY 2 

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 270 (Olimpíada Matemàtica 2006 Castelló –Nivell 2n cicle d’ESO)

Un home li ha deixat en herència a la seua dona i als seus cinc fills una finca quadrada de 1 Ha. de superfície per a que se la repartisquen segons les seues indicacions: Sent P i Q els punts mitjos dels segments AB i BC,  la finca queda dividida en sis parts. La més gran és per a la dona, i les altres per als fills segons les edats de cadascun d’ells. Calculeu l’àrea de cada regió

GEOMETRIA 2 

AJUDA I SOLUCIÓ