...................................................................................................................................Com va dir aquell: "Hi ha moltes maneres de matar mosques"

dijous, 31 de desembre del 2015

Problema 200 (Un clàssic del pensament indirecte)


Tenim un tauler d’escacs. Tenim 32 fitxes de dominó; cada una d’elles taparia exactament dos quadres adjacents del tauler.
 És perfectament possible cobrir les 64 caselles del tauler amb les 32 fitxes de dominó dipositades seguint les files o columnes del tauler. Fins i tot mentalment es veu la cosa feta.

Eliminam dos quadres del tauler. No dos quadres qualssevol , sinó els quadres extrems d’una de les dues diagonals. Eliminam una fitxa de dominó.
S’ofereix un premi d’un milió d’euros a qui sigui capaç de recobrir ara el tauler resultant amb les trenta-una fitxes que queden.
Què passa aquí?
ENGINY 3
Ajuda i solució

dimarts, 29 de desembre del 2015

Problema 199


Completa el quadrat màgic següent (format pels setze primers nombres naturals)
1





2


3
16

15


4

ENGINY 2
En un quadrat màgic les files, columnes, i les dues diagonals han de sumar el mateix.
Pots començar calculant aquesta suma comú
ajuda i solució

dijous, 24 de desembre del 2015

Problema 198 (“Para pensar mejor” – Miguel de Guzmán)

Em diu un alumne per telèfon que ha construït un triangle i que després ha midat les tres altures ,resultant ser de 1, 2 i 3 cm , respectivament.
Tenc la intuïció que m’enganya. Com ho puc saber?
GEOMETRIA3


Tres longituds no garanteixen l’existència d’un triangle que les tengui com a mides dels seus costats.
AJUDA I SOLUCIÓ

dijous, 17 de desembre del 2015

Problema 197



Tres equips de futbol – A,B,C – disputen un torneig triangular a una sola volta. Jugats alguns partits, potser tots, tenim una taula de resultats amb algunes dades.


jugats
guanyats
perduts
empatats
gols a favor
gols en contra
A




3

B

2


2

C



1



Completau la taula de resultats.
ENGINY 2 
No sembla massa difícil completar la graella.
ajuda i solució

dilluns, 14 de desembre del 2015

Problema 196 (“Problemas con pautas y números”- Universidad del País Vasco)

Es tracta d’un joc  per a dos jugadors. Col·locam una fitxa en el lloc marcat α . Alternativament, cada jugador desplaça la fitxa entre 1 i 6 punts , sempre cap a dins de l’espiral. El primer jugador que arriba al punt marcat ω guanya la partida.
Intenta trobar una estratègia guanyadora.
I si el primer que arriba perdés la partida?

JOCS 1  

Potser convé enumerar els punts...
AJUDA I SOLUCIÓ


dijous, 10 de desembre del 2015

Problema 195



Quines són les tres darreres xifres de 72016  ?
NOMBRES 4

Segur que les successives potències de 7 tenen terminacions de tres xifres organitzades cíclicament. Però determinar aquest cicle pot ser molt i molt laboriós.
Millor aprofitar altres recursos, per exemple que l'exponent és parell...
ajuda i solució

dissabte, 5 de desembre del 2015

Problema 194 (Cangur 2015 - nivell2)




 En un triangle ABC, el punt D divideix el costat CA per la tercera part, CD/CA = 1/3
De forma semblant, el punt E divideix el costat AB per la tercera part, AE/AB = 1/3
Quina fracció de l’àrea del triangle ABC representa l’àrea del triangle ADE?
GEOMETRIA 2

Traça unes quantes línies i el resultat apareixerà.
ajuda i solució

dijous, 3 de desembre del 2015

Problema 193 (“Problemas y experimentos recreativos” – Y.I.Perelman)



Pots endevinar fàcilment quants germans i germanes té un company teu, si li demanes que faci el següent:
-          que sumi 3 al nombre de germans
-          que multipliqui per 5 el nombre obtingut
-          que sumi 20 al resultat
-          i multipliqui la suma per 2
-          que al resultat afegeixi el nombre de germanes
-          i sumi 5 al total
Quan el company digui el resultat final d’aquestes operacions tu podràs dir-li quants germans i germanes té.Com ho faràs?
(Suposam que tant el nombre de germans com de germanes s’escriu amb una sola xifra)
MÀGIA 2  
 
Fes servir l’àlgebra i el camí s’obrirà davant teu
AJUDA I SOLUCIÓ

dijous, 26 de novembre del 2015

Problema 192 (“Llet d’Ocellet Matemàtica”- 25 anys Revista Delta)



Hem col·locat 1999 cavalls sobre un escaquer infinit a l’atzar. Demostrau que entre ells sempre n’hi ha 1000 que no s’ataquen dos a dos.
ENGINY 2
Ideal per al raonament indirecte. Una condició necessària perquè dos cavalls s’ataquin és...
ajuda i solució

diumenge, 22 de novembre del 2015

Problema 191 (Adaptació de Martin Gardner d’un problema anterior)



Un nin i una nina estan asseguts a l’entrada de la seva escola.
La persona morena diu “jo som un nin”
La persona pèl-roja diu “jo som una nina”
Si al menys un dels parlants ha mentit, qui és pèl-roig i qui morè?
LÒGICA1
AJUDA I SOLUCIÓ

dimarts, 17 de novembre del 2015

Problema 190



Abans que Andrew Wiles demostràs “el gran teorema de Fermat”, adesiara sortia algú afirmant haver trobat solucions naturals d’una equació del tipus xn + yn = zn , essent n>2. Després de 1995 la quantitat d’aquests “descobridors” va minvar, però de gent irreductible a la raó n’hi ha una quantitat inesgotable.
Una d’aquestes persones va venir dient que  3731n + 1302n = 4085n , per a algun n que no recordava, però que sens dubte era major que 2. Això suposava un contraexemple del segon teorema de Fermat, que justament feia cinc anys s’havia demostrat.
Plantejada la qüestió a primer de batxillerat, una quantitat respectable d’alumnes va resoldre el problema fent servir eines bastant elementals.
NOMBRES 3

Segurament hi ha moltes formes de veure que la igualtat escrita no pot ser certa ,sigui quin sigui l’exponent n .
AJUDA

dimecres, 11 de novembre del 2015

Problema 189 (Olimpiada Matemática Española (2014-2015) -Fase local)



Un campionat de bàsquet s’ha jugat pel sistema de lliga a doble volta (cada parell d’equips s’enfronten dues vegades) i sense possibilitat d’empat (si el partit acaba igualat es fan pròrrogues fins que guanyi  un dels dos). El guanyador del partit obté 2 punts i el perdedor 1 punt. Al final del campionat, la suma dels punts obtinguts per tots els equips exceptuant el campió es de 2015 punts. Quants partits ha guanyat el campió?
ENGINY 4

Quina relació hi ha entre nombre d’equips, punts a repartir, tipus de campionat?
Potser comencem per aquí.
AJUDA I SOLUCIÓ

dissabte, 7 de novembre del 2015

Problema 188 (XLVI Olimpíada Matemàtica – fase Illes Balears)



La suma de 10 nombres naturals diferents i no nuls és igual a 108. Demostrau que entre ells n’hi ha dos ,com a mínim, que són imparells.
NOMBRES 4

Podem suposar per un moment que sumam 10 nombres parells. Quines sumes podem obtenir?
ajuda i solució

dimecres, 4 de novembre del 2015

Problema 187 (“El llibre dels enigmes”- X.Cerdà i A.Alforcea)



En la multiplicació següent s’han substituït algunes xifres per lletres, tenint en compte algunes condicions: cada lletra representa una única xifra decimal de l’1 al 9 i no hi ha dues lletres diferents que representen el mateix nombre ni tampoc un dels nombres que ja apareixen a l’operació.



















































































A quin dígits corresponen A , B i C ?












ENGINY 1 
El mateix enunciat hi afegeix un consell: comença per la dreta.
AJUDA I SOLUCIÓ

dimecres, 28 d’octubre del 2015

Problema 186 (“New Mathematical Diversions” – Martin Gardner)



Si per casualitat ens trobam amb dues de les germanes Jones (la qual cosa pot considerar-se equivalent a haver-les extretes a l’atzar del conjunt format per totes les germanes Jones), hi ha un cas de cada dos en que totes dues tenen el ulls cels. Quina és la predicció més raonable relativa al nombre de germanes Jones i a quantes d’elles tenen els ulls cels?
PROBABILITAT 3
Segurament recordes la regla de Laplace, allò de Casos favorables partit per Casos possibles...
ajuda i solució

dissabte, 24 d’octubre del 2015

Problema 185 (Cangur 2015 – nivell 4)



La figura mostra una ceràmica dissenyada per Antoni Gaudí, obtinguda dividint cada costat d’un octògon regular en tres parts iguals. Quina relació hi ha entre l’àrea acolorida i la de la zona que no ho està?
GEOMETRIA 4

La simetria de la figura ajudarà a la intuició
AJUDA I SOLUCIÓ

dimarts, 20 d’octubre del 2015

Problema 184 (“El ingenio en las Matemàticas” – Ross Honsberger)



Sabem que dos , de sis al.lots, han robat codonys; però, quins?
Harry diu: ”Charlie i George”
James diu: “Donald i Tom”
Donald diu: “Tom i Charlie”
George diu: “Harry i Charlie”
Charlie diu: “Donald i James”
Tom no va dir res. Quatre dels cinc joves interrogats assenyalaren correctament un dels lladres i l’altre no, el cinquè va mentir totalment.
Qui va robar els codonys?
LÒGICA 3

Deixant de banda el càlcul proposicional, una senzilla graella pot servir...
AJUDA I SOLUCIÓ