Problema 115 (“Martin Gardner’s Sixth Book of Mathematical Diversions”)

Bill ,estudiant de Matemàtiques, I Bob ,estudiant d’Econòmiques, solen jugar-se a cara o creu les rondes de cervesa al bar. Un dia, Bill li diu :”ja que t’he guanyat les tres darreres, ara ho farem diferent, tu tiraràs dues monedes i jo una; si treus més cares que jo, guanyes, en cas contrari guany jo”. “Gràcies”, va dir en Bob.

Jugant tots dos amb una moneda, la probabilitat de guanyar en Bob era 1/2. Realment ha millorat ara la seva probabilitat? En quina mesura?

PROBABILITAT 2

Un diagrama d’arbre pot anar bé.

ajuda i solució

Problema 114 (Un criptaritme de Henry Ernest Dudeney)

 Es tracta d’un producte seguit d’una suma. Cada punt representa un dígit de l’1 al 9 i cada dígit apareix exactament una vegada. La solució és única

ENGINY 2

En aquest cas no hi ha massa consells que donar. Per ventura començaria mirant el multiplicador: es poden descartar moltes xifres.

AJUDA I SOLUCIÖ

Problema 113 (Novena Olimpíada Internacional)

En un concurs esportiu hi ha m medalles a repartir en n dies successius

(n > 1). El primer dia es repartiren 1 medalla més 1/7 de les (m-1) restants. El segon dia es repartiren 2 medalles més 1/7 de les restants, i així successivament. L’enèsim dia es varen repartir les n medalles que quedaven. Quants dies varen durar les proves i quantes medalles es repartiren en total?

ENGINY 4

L’enunciat suggereix que convendrà partir del final cap amunt, però no sembla fàcil.

ajuda i solució

Problema 112 ( Un clàssic de la màgia matemàtica elemental)

El mag demana a un voluntari que escrigui en un paper (que el mag mai haurà de veure) un nombre de tres xifres. Si el nombre elegit és palindròmic (capicua), convida a descartar-lo i triar-ne un altre.A continuació  ell escriu també un nombre en un paper que lliura a alguna altra persona del públic.

Què ha de fer el primer voluntari amb el nombre elegit?

1. Escriure les mateixes xifres en ordre invers (si 123 ha d’escriure 321)
2. Restar els dos nombres (sempre el menor del major)
3. Amb la resta obtinguda ha de fer la mateixa operació:escriure les xifres en ordre invers
4. Sumar el resultat de la resta i el nombre acabat d’escriure.

Triomfalment, el mag reclamarà als dos depositaris que mostrin els nombres respectius.

Coincideixen. Aplaudiments.

Com s’explica el joc?. Què passaria si es manejàs un capicua?

L’explicació empírica és molt fàcil;prova de trobar també la demostració algebraica.  

si vols ajuda...

Problema 111 (Cangur 2008 – Nivell 4)

Tres circumferències de radi  r  són tangents de dues en dues tal com mostra la figura. Quina és l’àrea de la regió acolorida que tanquen entre elles?

GEOMETRIA 2 

Pot ajudar unir els tres centres ...

ajuda i solució

 

Problema 110 (“New Mathematical Diversions” - Martin Gardner)

Tres instituts: Washington, Lincoln i  Roosevelt , s’enfronten en un torneig esportiu. Cada centre presentava un competidor a cada prova. Susan, estudiant del Lincoln, va anar a la tribuna a animar el seu equip i ,ja a casa seva, son pare es va interessar per com havia anat tot.

Hem guanyat la prova de tir, va contestar la dona, però Washington ha guanyat el campionat. Han fet 22 punts ,nosaltres i els de Roosevelt hem empatat amb 9 punts.

Com puntuaven les proves? – va demanar el pare.

No ho sé massa. Donaven un nombre de punts al guanyador de cada prova, un nombre menor al segon, i encara un nombre més petit al tercer. Tots tres puntuaven i el sistema de puntuació era idèntic a tots els esports.

Quantes proves hi havia en total?

No ho sé. Jo només vaig veure el tir.

Hi havia salt d’altura? – va demanar el germà de Susan.

Susan va fer que sí amb el cap.

-Qui va guanyar?.

Susan no ho sabia. Per difícil que sembli, aquesta pregunta es pot contestar a partir del que sabem. Qui va guanyar el salt d’altura?.

ENGINY 4

Per on començam?

Potser pel total de punts, no?

ajuda i solució

Problema 109 (“Cuentos y cuentas de los matemáticos” –R. Rodríguez Vidal i M.C. Rodríguez Rigual)

Digues a un amic que deixi sobre la taula unes quantes monedes (3,4,5 són una quantitat acceptable). Després de veure-les , dónes l’esquena a la taula i li demanes que vagi girant les monedes que vulgui d’una en una, i que cada vegada que ho faci pegui un crit de guerra estil “GERÒNIMUS!!”.Quan hagi acabat que tapi qualsevol de les monedes amb una mà. A continuació, amb parsimònia i una mica de superioritat,mires altre cop la taula i endevines sense gaire problemes si la moneda tapada mostra CARA o CREU.

MÀGIA 1

Els trucs de màgia han de causar el seu efecte, Les explicacions vénen més tard

per aclariments,clica aquí