Problema 125 (Cangur 2006 - Nivell 1)

El diàmetre AB del cercle de la figura fa 10cm.  Quin és el perímetre del polígon acolorit , en el benentès que hem descompost el rectangle gran en petits rectangles iguals?

GEOMETRIA 1

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 124 (“The Little Giant Book of Logic Puzzles” – Norman D. Willis)

Un cavaller s’acosta a dos dracs i els demana de quin color són i a quin tipus pertanyen cada un d’ells. Els racionals grisos i els depredadors rojos sempre diuen la veritat, mentre que els racionals rojos i els depredadors grisos sempre menteixen. Els dracs responen de la següent manera:

A:1 Jo som un drac gris

    2.B és un drac depredador

B:1 A és un drac depredador

    2.Jo som un drac racional

De quin color i tipus són?

LÒGICA 2

De la primera afirmació del drac A ja podem deduir...

ajuda i solució

Problema 123 (“Llet d’ocellet matemàtica.25 anys de Matemàtica a la revista Delta”)

Tenim 1999 monedes, d’entre les quals 1410 són falses. La massa d’una moneda falsa difereix de la d’una autèntica en 1 gram (de més o de menys, depèn de la moneda falsa). Disposam d’una balança de platets amb una fletxa que indica la diferència de les masses situades sobre els platets. Com podem establir per a una moneda qualsevol si és falsa o no, si només podem fer una pesada?

ENGINY 4

Potser convendrà fer servir quantitats més petites de monedes i mirar d'aclarir la situació.

AJUDA i SOLUCIÓ

Problema 122 (Escoltat a RNE)

La Grossa d’aquest any serà un número de cinc xifres (00000 - 99999) que té dues propietats:

1) és un nombre primer

2) els quatre nombres que resulten de llegir dues xifres consecutives són quadrats perfectes. (Si el número fos abcde, ab ,bc .cd i de serien quadrats perfectes)

NOMBRES 1 

Com poden acabar els nombres primers?

Com acaben els quadrats perfectes?

 

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 121 (Cangur 2013 - Nivell 3)

L’Albert volia dibuixar dos triangles equilàters juxtaposats per a obtenir un rombe. Però no va mesurar correctament les distàncies i , quan ja havia acabat, la Berta va mesurar els quatre angles assenyalats a la figura i va veure que no eren iguals. Quin dels cinc segments de la figura és el més llarg?

GEOMETRIA 2

Una propietat bàsica dels triangles:   “A major costat s’oposa major angle”

AJUDA i SOLUCIÓ

 

Problema 120 (Catorzena Olimpíada Internacional)

Demostrar que d’un conjunt de deu nombres de dues xifres (escrits en el sistema decimal) és possible extreure’n dos subconjunts disjunts els membres dels quals sumin el mateix.

LÒGICA 4

El principi del colomer, o de les caselles, o de Dirichlet

és l’observació òbvia que si heu de repartir n coloms en m gàbies

i   n > m, 

alguna gàbia contindrà més d’un colom.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 119 (“Juegos de ingenio” – P.Vives)

A demana a B que agafi una fitxa de dominó qualsevol, la miri i la guardi sense mostrar-l’hi. A continuació li ordena aquestes operacions:

- que dobli el nombre corresponent a un dels dos quadres de la fitxa.

-que afegeixi a aquest producte un nombre qualsevol que dirà en veu alta el mateix B, o el públic, o el propi A si s’escau.

-que multipliqui per 5 el resultat obtingut

-que sumi el nombre representat a l’altre quadre de la fitxa

-que digui el resultat final

En qüestió de segons A endevinarà la fitxa de dominó que amaga B

Com s’ho fa?

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 118 (“Juegos de ingenio” – P.Vives)

Veritables i Falsaris havien decidit feia temps reunir-se en assemblea . Després de molta xerrameca quedaren només sis representants per atendre els periodistes. Feren aquestes declaracions:

Delegat 1: Només un de nosaltres és veritable

Delegat 2: Al menys un de nosaltres és veritable

Delegat 3: Entre nosaltres n’hi ha exactament dos de veritables

Delegat 4: Al menys dos de nosaltres són veritables

Delegat 5: Exactament tres de nosaltres són veritables

Delegat 6: Al menys tres de nosaltres són veritables

Quants n’hi ha de cada classe.?

(entenem que els veritables sempre diuen la veritat i els falsaris sempre menteixen)

LÒGICA 2

Què passaria si n’hi hagués un que digues la veritat?

ajuda i solució

Problema 117 (“Number Puzzles” – Ken Russell i Philip Carter)

Tres homes , A ,B i C, dispararen tots tres 6 vegades i aconseguiren 71 punts cada un. Amb els dos primers trets , A va fer 22 punts . B marcà 3 punts amb el primer tret.

Qui va fer diana?

ENGINY 3   

A segur que no l'ha feta. Serà B o C ?

ajuda i solució

Problema 116 (Octava Olimpíada Internacional)

En un concurs de Matemàtiques es proposen tres problemas: A, B i C. Entre els participants , 25 resolgueren al menys un problema cada un. Entre els concursants que no varen resoldre el problema A, els que resolgueren el B foren el doble dels que resolgueren el problema C. El nombre d’estudiants que varen resoldre només el problema A va ser una unitat major que el nombre del que resolgueren A i al menys un altre problema. De tots els estudiants que resolgueren exactament un sol problema, la meitat no resolgué l’A. Quants estudiants varen resoldre només el problema B?

ALGEBRA 4

Llegim l'enunciat i pensam amb diagrames de Venn i equacions. Pot anar bé.

AJUDA I SOLUCIÓ

Problema 115 (“Martin Gardner’s Sixth Book of Mathematical Diversions”)

Bill ,estudiant de Matemàtiques, I Bob ,estudiant d’Econòmiques, solen jugar-se a cara o creu les rondes de cervesa al bar. Un dia, Bill li diu :”ja que t’he guanyat les tres darreres, ara ho farem diferent, tu tiraràs dues monedes i jo una; si treus més cares que jo, guanyes, en cas contrari guany jo”. “Gràcies”, va dir en Bob.

Jugant tots dos amb una moneda, la probabilitat de guanyar en Bob era 1/2. Realment ha millorat ara la seva probabilitat? En quina mesura?

PROBABILITAT 2

Un diagrama d’arbre pot anar bé.

ajuda i solució

Problema 114 (Un criptaritme de Henry Ernest Dudeney)

 Es tracta d’un producte seguit d’una suma. Cada punt representa un dígit de l’1 al 9 i cada dígit apareix exactament una vegada. La solució és única

ENGINY 2

En aquest cas no hi ha massa consells que donar. Per ventura començaria mirant el multiplicador: es poden descartar moltes xifres.

AJUDA I SOLUCIÖ

Problema 113 (Novena Olimpíada Internacional)

En un concurs esportiu hi ha m medalles a repartir en n dies successius

(n > 1). El primer dia es repartiren 1 medalla més 1/7 de les (m-1) restants. El segon dia es repartiren 2 medalles més 1/7 de les restants, i així successivament. L’enèsim dia es varen repartir les n medalles que quedaven. Quants dies varen durar les proves i quantes medalles es repartiren en total?

ENGINY 4

L’enunciat suggereix que convendrà partir del final cap amunt, però no sembla fàcil.

ajuda i solució

Problema 112 ( Un clàssic de la màgia matemàtica elemental)

El mag demana a un voluntari que escrigui en un paper (que el mag mai haurà de veure) un nombre de tres xifres. Si el nombre elegit és palindròmic (capicua), convida a descartar-lo i triar-ne un altre.A continuació  ell escriu també un nombre en un paper que lliura a alguna altra persona del públic.

Què ha de fer el primer voluntari amb el nombre elegit?

1. Escriure les mateixes xifres en ordre invers (si 123 ha d’escriure 321)
2. Restar els dos nombres (sempre el menor del major)
3. Amb la resta obtinguda ha de fer la mateixa operació:escriure les xifres en ordre invers
4. Sumar el resultat de la resta i el nombre acabat d’escriure.

Triomfalment, el mag reclamarà als dos depositaris que mostrin els nombres respectius.

Coincideixen. Aplaudiments.

Com s’explica el joc?. Què passaria si es manejàs un capicua?

L’explicació empírica és molt fàcil;prova de trobar també la demostració algebraica.  

si vols ajuda...

Problema 111 (Cangur 2008 – Nivell 4)

Tres circumferències de radi  r  són tangents de dues en dues tal com mostra la figura. Quina és l’àrea de la regió acolorida que tanquen entre elles?

GEOMETRIA 2 

Pot ajudar unir els tres centres ...

ajuda i solució

 

Problema 110 (“New Mathematical Diversions” - Martin Gardner)

Tres instituts: Washington, Lincoln i  Roosevelt , s’enfronten en un torneig esportiu. Cada centre presentava un competidor a cada prova. Susan, estudiant del Lincoln, va anar a la tribuna a animar el seu equip i ,ja a casa seva, son pare es va interessar per com havia anat tot.

Hem guanyat la prova de tir, va contestar la dona, però Washington ha guanyat el campionat. Han fet 22 punts ,nosaltres i els de Roosevelt hem empatat amb 9 punts.

Com puntuaven les proves? – va demanar el pare.

No ho sé massa. Donaven un nombre de punts al guanyador de cada prova, un nombre menor al segon, i encara un nombre més petit al tercer. Tots tres puntuaven i el sistema de puntuació era idèntic a tots els esports.

Quantes proves hi havia en total?

No ho sé. Jo només vaig veure el tir.

Hi havia salt d’altura? – va demanar el germà de Susan.

Susan va fer que sí amb el cap.

-Qui va guanyar?.

Susan no ho sabia. Per difícil que sembli, aquesta pregunta es pot contestar a partir del que sabem. Qui va guanyar el salt d’altura?.

ENGINY 4

Per on començam?

Potser pel total de punts, no?

ajuda i solució

Problema 109 (“Cuentos y cuentas de los matemáticos” –R. Rodríguez Vidal i M.C. Rodríguez Rigual)

Digues a un amic que deixi sobre la taula unes quantes monedes (3,4,5 són una quantitat acceptable). Després de veure-les , dónes l’esquena a la taula i li demanes que vagi girant les monedes que vulgui d’una en una, i que cada vegada que ho faci pegui un crit de guerra estil “GERÒNIMUS!!”.Quan hagi acabat que tapi qualsevol de les monedes amb una mà. A continuació, amb parsimònia i una mica de superioritat,mires altre cop la taula i endevines sense gaire problemes si la moneda tapada mostra CARA o CREU.

MÀGIA 1

Els trucs de màgia han de causar el seu efecte, Les explicacions vénen més tard

per aclariments,clica aquí

Problema 108 (CANGUR 2008 - Nivell4)

A l’operació de la figura cada asterisc representa un dígit. Quant val la suma dels dígits del producte?

ENGINY 2  

Començant per la tercera fila dels productes parcials,.. i la resta és desfer calça

solució

Programa 107 (“Juegos de ingenio” Norman D. Willis)

Els cinc integrants d’una banda de jazz mostren les seves preferències musicals indicant quina és la cançó preferida de cadascun. Sabem que un d’ells va esmentar “Lullaby of Birdland” i que les cançons escollides eren totes diferents. També sabem:

1.De les cinc cançons ,les que menys agraden a MEL són “Indiana” i “How high the Moon”

2.Ni “Crazy Rhythm” ni “Sunny side of the street” són la favorita d’ANSEL

3.La cançó preferida d’STEVE és una de les que menys agraden a MEL entre les cinc seleccionades;l’altra és la favorita de ROGER.

4.La cançó que ha triat CAROLINE no és  “Sunny side of the street”.

5.STEVE no entén perquè a ROGER no li agrada “Indiana”

LÒGICA 1

Pots fer servir aquesta graella:

	Lullaby...	Crazy...	Sunny...	Indiana	How high...
MEL
ANSEL
STEVE
ROGER
CAROL

solució

Problema 106 (Quarta Olimpíada Internacional)

Troba el menor natural N complint:

1)      la seva escriptura decimal acaba en 6

2)      Si esborram el 6 i el col.locam a l’esquerra davant la resta de dígits el nombre resultant és quatre vegades el nombre N

ENGINY 3

Podem escriure-ho d’aquesta forma 

Es veurà més clar.

SOLUCIÓ

Problema 105 (CANGUR 2010 - Nivell1)

Sota el mandat del rei de les aigües submarines hi ha pops de 6, 7, i 8 potes. Els de 7 potes sempre menteixen, però els de 6 i 8 sempre diuen la veritat. Un dia es van reunir quatre pops. El primer va dir: “Entre tots tenim 28 potes”. El segon va dir: “Entre tots tenim 27 potes”. El tercer va dir: “Entre tots tenim 26 potes”. El quart va dir: “Entre tots tenim 25 potes”.Quin pop deia la veritat ?

LÒGICA 2

La suma de potes dels quatre pops és una quantitat única, per tant segur que menteixen alguns...

segueix