Problema 49 ("El libro del genio matemático" - Carlo Fabretti)

Antoni,Brauli i Clara juguen a la platja amb una pilota. Brauli està enamorat de Clara i cada vegada que rep la pilota la tira cap a ella. Clara està enamorada d’Antoni i quan li arriba la pilota sempre se la passa a ell. Antoni no en fa cas i cedeix les pilotes que li arriben a una o altre indistintament, diríem que de forma aleatòria.Calcula la probabilitat que té cada un dels tres de tenir la pilota en un moment determinat.

PROBABILITAT 3  

La intuició probabilística pot trair.
De vegades ajuda a resoldre problemes, altres et fa perdre el rumb; molts cops, ja aconseguida la solució, no n'acabes de veure l'autenticitat i necessites comprovar-la amb una simulació o cosa semblant.
En el meu cas, la deformació professional em va fer començar per un diagrama d'arbre

TOTA LA HISTÒRIA

Problema 48

Si convertim el micro-poema que segueix en una suma, on les lletres representen dígits dels que enumeren els mesos de gener a juliol (1,2,3,4,5,6,7) , i on lletres iguals representen la mateixa xifra i lletres diferents representen xifres diferents,

calcula els valors possibles de cada una.

SOL

SAL

CEL

········

ZEL

ENGINY 1 

La solució,aquí

polsa la imatge

MICRO-POEMA ("agost a Mallorca")

SOL

SAL

CEL

· · · ·

ZEL

Problema 47 (Un altre clàssic)

Cada un dels costats iguals d’un triangle isósceles té una longitud de 10 metres. Sense fer servir el càlcul diferencial, calcula la mida del tercer costat que fa màxima l’àrea del triangle.

GEOMETRIA 3

Sense el càlcul diferencial, cada problema d’optimització ha de tenir un tractament específic. De vegades fa falta una idea brillant per aconseguir-ne la solució.

Aquest és un exemple molt il.lustratiu que et confortarà si el resols...

o  et reconciliarà amb la potència de les derivades si has d’acudir a elles com a últim recurs.

En qualsevol cas... 

solució

Problema 46 ("el barril de cervesa" - Un clàssic d'Henry Dudeney)

Un casiner té cinc barrils de vi i un de cervesa. Ven una determinada quantitat de vi a un client i el doble d’aquesta quantitat a un altre, quedant llavors sense gens de vi. Sabent que el vi es despatxa a litres sencers (no fracció), i que les cabudes dels barrils són: 15 , 16 , 18 , 19 , 20 i 31 litres respectivament, quants litres de cervesa té el casiner?   

ENGINY 2

un nombre enter + el doble d'aquest enter  =  tres vegades el nombre enter, dons...

Si aquesta pista no és suficient, clica

solució

Problema 45 ("El libro del genio matemático" - Carlo Fabretti)

En una pel.lícula italiana dels anys seixanta, en acabar el sopar ,el personatge Anna ha fumat 4 cigarretes, Berta 3 , Claudia 2 i Dora 1. Dels personatges masculíns, Antonio ha fumat la mateixa quantitat de cigarretes  que la seva esposa , Bernardo el doble que la seva ,Cósimo el triple i Daniele n’ha fumat el quàdruple que la seva dona. En els cendrers han deixat un total de 32 llosques.

Quin nom té la dona de Cósimo?

EQUACIONS 2

El primer pensament va cap a un sistema d’equacions. Tanmateix el valors de les incògnites principals ja hi són ímplicits, el que falta és l’assignació correcta a un o altre dels homes de la pel.lícula.

La primera cosa és assimilar exactament l’enunciat i preparar un pla.

La solució ....

AQUÍ

Problema 44 ("Puzzles from other worlds"-Martin Gardner)

O	X	O	O	JOC 1                            JOC2	X	O	O	X
X	O	X	O		O	O	X	X
X	X	X	O		O	O	X	X
O	O	X	X		X	X	O	O

Sobre una quadrícula 4x4 hi ha dipositades 16 monedes, algunes mostren cara (O) i altres creu (X) . L’objectiu del joc és aconseguir que totes mostrin cara. Les regles són les següents:

1)      Pots girar totes les monedes d’una mateixa fila

2)      Pots girar totes les monedes d’una mateixa columna

3)      Pots girar totes les monedes de cada una de les 2 diagonals principals

4)      Pots girar totes les monedes de cada una de les 4 “diagonals” de 3 elements

5)      Pots girar totes les monedes de cada una de les 4 “diagonals” de 2 elements

6)      Pots girar cada una de les monedes dels 4 cantons (“diagonal” d’1 element)

Aconseguiràs resoldre un dels dos jocs. No et desanimis si no pots resoldre l’altre

Hauries de descobrir un criteri que permetés distingir,abans de començar, els jocs resolubles dels impossibles.

JOCS-4

Per aconseguir ajuda 

solució

Problema 43

Potser alguna vegada heu vist simplificar una fracció així: 

Això de tatxar una xifra igual en els dos termes d’una fracció no és correcte. Ara bé, escasses vegades el resultat sí ho és. Per l’exemple la segona simplificació dóna el resultat bo.

Quan el numerador i el denominador d’una fracció són nombres de dues xifres, a part dels casos en què els dos termes són iguals o els dos acaben en zero, existeixen unes poques fraccions per a les quals aquest procediment funcionaria bé. Sabries trobar-les?

NOMBRES 4

Més que tractar  d'endevinar-les ,convendrà procedir de forma sistemàtica. Si vols ajuda...

ajuda

Problema 42 ("Puzzles from other worlds" - Martin Gardner)

Els kroms han visitat la Terra. Dins un saló hi ha més d’un krom. Cada krom té dues mans i cada mà té un o més dits. Tots els kroms tenen el mateix nombre de dits. La quantitat total de dits en el saló és més gran que 200 i menor que 300.

D’una cosa pots estar segur: si tu sabessis la quantitat total de dits que hi ha al saló, sabries exactament quants kroms hi ha al saló.

Quants kroms hi ha i quants dits té cadascú?

ENGINY 3   

Martin Gardner comenta que ,davant una versió d'aquest problema en un bulletí Mensa ,un comentarista explicava que durant deu minuts va estar pensant si es tractava d'un joc de paraules o tenia algun truc verbal amagat. Després,diu, va arribar la inspiració.

Si aquesta dama no arriba ,o vols comprovar la solució:

AQUÍ

Problema 41 ("Puzzles from other worlds" - Martin Gardner)

Martin Gardner explica com un professor de la Universitat de Nova York especialitzat en Teoria de Nombres troba una botella de Klein de la qual surt un geni . Com a bon geni que és, s’ofereix per acomplir tres desitjos del professor. Això passa molt abans que Andrew Wiles demostràs el teorema de Fermat,per tant un dels desitjos del professor és aconseguir aquesta demostració.Carregat de nervis escriu l’enunciat del teorema i no passa massa temps abans que el geni torni amb una demostració clara i senzilla. Malauradament, quan el professor ataca el teorema veu que s’havia equivocat en el plantejament. Ell havia escrit:

“Essent a,b,c enters positius, no existeix cap nombre enter n>2 solució de l’equació   n^a + n^b = n^c “

Sabries trobar una demostració d’aquest teorema de Fermat invers?

NOMBRES-4

DEMOSTRACIÓ

Problema 40 ("El palacio de los precisos cristales"-Bernardo Recamán)

Tenim 13 monedes d’euro repartides en tres capsetes tancades: A,B,C

Dins cada capsa n’hi ha un nombre diferent; la quantitat de monedes dins A és menor que la que hi ha dins B, i aquesta menor que la de C.

Tres germanes, , Aina, Berta i Carme , totes tres raonen molt bé i són expertes calculadores ,examinen cada una el contingut d’una de les capses.

Aina ,després de mirar dins A ,diu que no pot saber quin és el contingut de les altres capses; A continuació, Carme mira quants euros hi ha dins C i treu la mateixa conclusió que abans havia expressat Aina: no pot dir quin és el contingut de les altres capses. Tot seguit, Berta mira dins B i diu exactament el mateix que les dues germanes han dit abans.

Saps quants euros va trobar Berta dins la capsa B?

ENGINY-2

L’empatia amb els altres és una qualitat que cobra importància dia a dia. En determinats problemes va bé posar-se en el lloc del personatge(s) de l’enunciat, provar de raonar com ell ho faria i actuar en conseqüència...

Sembla més difícil del que és. Per si de cas...

SOLUCIÓ

Problema 39 ("El palacio de los precisos cristales"- Bernardo Recamán)

Un seminari de Lògica va comptar amb bastants participants:

15 eren delegats d’Espanya

24 eren dones

8 no venien ni d’Espanya ni de Sudamèrica; d’aquests, 4 eren dones

A partir d’aquestes dades,es podria demostrar que hi havia més homes espanyols que dones sudamericanes?

LÒGICA-2

La lògica i l’àlgebra són aliades.

Totes dues milloren si fem servir eines avinents. per exemple un diagrama de Venn o una taula de doble entrada.

SOLUCIÓ

Problema 38 (Cangur 2013 - Nivell 4)

Quantes solucions (x,y) té l’equació   x²+y² = │x│+│y│,

si    x   i   y   són nombres reals? . Quines són?

GEOMETRIA-3 

Té solucions.

Immediatament veus la (0,0), la (1,0), la (0,-1) , etc.

Però, quantes?

Si les interpretes com a punts del pla, com estan distribuïdes?

Per arribar al cap de tot, hauràs de desenfundar els teus coneixements de geometría analítica.

Si vols ajuda ,pots aconseguir-la      AQUÍ

SOLUCIONS

Pots veure la solució completa de l'equació 

Problema 37 (Cangur 2013 - Nivell 4)

Una caixa conté 900 targetes numerades de la 100 a la 999,totes amb nombres diferents. En Francesc treu, de cop,unes quantes targetes i fa la suma de les xifres de cadascuna. Quantes targetes ha de treure,com a mínim, per estar segur que tindrà tres targetes amb la mateixa suma de xifres?

ENGINY – 2

Convendrà entendre bé l’enunciat

En Francesc  va treient targetes: 245 ,110, 343. 871, 245, 333 ...

I va sumant les xifres  11, 2, 10, 16, 11, 9 ...

Tenim dues sumes iguals, però no tres. Està clar que si seguíssim amb les targetes i les sumes, tard o d’hora tendríem tres sumes iguals.

Però, quantes targetes cal treure ,com a mínim, per estar segurs que en tendrem tres de repetides?

ajuda i solució

Resolució >>>

Problema 36

El mag demana un voluntari. Li diu que pensi un nombre de dues xifres i l’escrigui tres vegades seguides formant un nombre de sis xifres. A continuació li diu que faci algunes operacions:

Que divideixi el nombre per 7

Multipliqui el resultat per 5

Divideixi per 65.

El voluntari,armat de calculadora,calcula.

Pausa solemne.

El mag demana al voluntari que li vagi dient les xifres del nombre final obtingut

El voluntari comença SET, QUATRE ...

El mag s’avança i diu : Basta! , després ve un 3 i la darrera és 7 .El nombre que havia pensat era el 67

Com ho ha pogut saber?

No forma part del ritual màgic la repetició immediata dels trucs. Així que quan algú li demana un bis el farà canviant alguns detalls. Per exemple:

Pensi un nombre de dues xifres,escrigui’l tres vegades seguides. Divideixi’l per 28, multipliqui el resultat per 4, divideixi per 13, sumi la quantitat que li digui el veïnat de la dreta ( suposem 14), resti  el nombre que vulgui el veïnat de l’esquerra (suposem 23) i vagi dient les xifres.

El voluntari ,que ha treballat més del que pensava quan va decidir participar, comença: CINC, ZERO, NOU, fa una pausa, però el mag el convida a seguir, i finalment diu... SET.

El mag, triomfal, alça la veu: Vostè havia pensat el nombre 46. I el voluntari aplaudeix. El públic també.

Com ho ha pogut saber?         MAGIA-3

ALLÒ QUE EL MAG SAP

Problema 35 ("Thinking Strategies"- Larry E.Wood)

Quatre amics sopaven en un restaurant japonès i un d’ells va exclamar: “m’han enverinat”; tot seguit va caure mort. Els seus companys foren interrogats i cada un d’ells va fer tres declaracions.De les tres una,i  exactament una , era falsa

Ramis: Jo no he estat. Jo estava assegut al costat d’en Harrison. Avui ens ha servit el mateix cambrer de sempre

Alfons: Jo estava assegut davant de n’Espinosa. Avui ens ha servit un cambrer nou. El cambrer no ha estat l’enverinador

Harrison: Alfons no ha estat l’assassí. El cambrer ha enverinat Espinosa. Ramis ha mentit dient que avui ens ha servit el mateix cambrer de sempre

Suposant que només hi són implicats els companys del mort i el cambrer, qui va enverinar Espinosa?

LÒGICA-2

És important organitzar-se per tractar la coherència de les declaracions amb la situació descrita. 
Si vols, et pot ajudar una GRAELLA

Explicació i solució 

AQUÍ

Problema 34 ("Thinking Strategies"- Larry E.Wood)

A l’Escola Superior Pynchon hi ha 500 alumnes que disposen de 500 taquilles (numerades de l’1 al 500). 
Al començament totes les taquilles estaven tancades; va aparèixer l’alumne 1 i va obrir-les totes.
Després va venir l’alumne 2, va anar a la taquilla 2 i va invertir la situació (oberta > tancada / tancada > oberta) de les taquilles una si i una no .
L’alumne 3 ,començant per la taquilla 3, va invertir la situació d’una de cada tres taquilles; el 4, començant per la taquilla 4, va invertir una de cada 4, i així successivament. 
Fins que l’alumne 500 va canviar la situació de la taquilla 500. Quantes taquilles estaven obertes al final? Quines eren?

NOMBRES-2

Potser convendrà manejar un reduït grup d'alumnes i taquilles i descobrir-hi alguna pauta vàlida per a un conjunt més gran...
Si tens dificultats o en vols saber una mica més

AJUDA

Problema 33 ("The Dell Book of Logic Problems" Rosalind Moore)

La setmana passada ,Manel i altres quatre  persones anaren a consulta mèdica. Varen anar a cinc metges diferents (un d’ells el Dr Sans) de cinc especialitats distintes (entre elles un oftalmòleg) . A partir de les pistes següents, tracta de determinar el nom i llinatge de cada pacient , el llinatge de cada un dels doctors i les seves especialitats respectives.

1. Miquel Reig no va anar al doctor Pérez
2. Les tres dones són: la que va veure el Dr. Nost, la senyora Ramis i la que va anar al dermatòleg
3. La senyora Ribot va anar a consultar el cirurgià
4. L’ortopeda, que no és el metge de Robles, no és el Dr. Canet
5. Una dona va anar a la consulta del Dr. Agostera, però aquesta dona no era na Martina
6. Maria no és la dona que va anar al tocòleg, aquest metge no és el Dr. Canet
7. Mercè es diu Rius de llinatge

LÒGICA – 4

Convé esmicar bé la informació que hi ha de forma implícita a cada una de les pistes i construir una graella adient. Un exemple de graella està present a l’exercici 26

La graella que hauràs de fer servir és una mica més complicada: GRAELLA

Si vols seguir el procés passa a passa 

SOLUCIÓ